سلام.
بله امکان پذیر است.
حکم به راحتی برای $n=1,2,3$ واضح و قابل انجام است.حالا به کمک استقراء ریاضی فرض میکنیم حکم برای هر عدد طبیعی $k$ که $k<n>3$ برقرار است.نشان میدهیم که حکم برای $n$ درست است.
از دنباله فیبوناتجی، جملۀ $F$ را طوری در نظر میگیریم که بزرگترین عدد فیبوناتجی باشد که $F \leq n$.بنابه فرض حکم برای $n-F$ برقرار است یعنی تعدادی جمله فیبوناتجی مانند $F_a<,...,<F_b$ موجود است که:
$n-F=F_a+...+F_b \Rightarrow n=F_a+...+F_b+F$
حالا نشان می دهیم که $F$ با هیچ کدام از $F_i$ های این مجموع برابر نیست.واضح است که چون جملات مثبت اند برای هر اندیس این مجموع مانند $i$ داریم: $F_i \leq n$.پس بنابه به تعریف $F$ باید برای هر اندیس $F_i \leq F$.بنابر این تنها حالتی که ممکن است پیش بیاید حالت $F=F_b$ است.
حالا باید این مورد را هم رد کنیم.برهان خلف:فرض می کنیم که $F=F_b$.
$n-F_b=n-F \geq F_b \Rightarrow n \geq F_b+F_b \geq F_{(b-1)}+F_b=F_{(b+1)} \Rightarrow F_{(b+1)} \leq F=F_b \perp $
پس حکم برای $n$ هم ثابت است.توجه شود که $F_{(b-1)}$ و $F_{(b+1)}$ ممکن است در مجموع بالا نباشد.و اثبات در صورت وجود اینهاست.اگر $F_i$ های لازم موجود نباشند یعنی $n-F$ جمله ای فیبوناتجی است است که بدون نیاز به این استدلالها حکم واضح است مگر در حالت $2=1+1$ که در ای حالت می نویسیم $2=2$.
$ \Box $
این حکم در واقع صورت ضعیف شده (Zakendorf’s Theorem) است.که این قضیه بیان میکند در این مجموع علاوه بر متمایز بودن هیچ دو زوج به صورت دو جمله متوالی از دنباله فیبوناتجی نیستند.که اثبات این هم با برهان خلف و در نظر گرفتن بزرگترین زوج متوالی و روابط بین جملات دنباله فیبوناتجی قابل حل است.
