Question

هرگاه$$x_1,x_2$$ ریشه‌های حقیقی دستگاه معادله زیر باشند:

$$f( tan^{2}x)=1-2sin^{2}x,f(x- \frac{1}{x} )-f(x+ \frac{1}{x} )= \frac{x}{2} $$ مطلوب است محاسبه:

$$A= \frac{ x_1^{3} + x_2^{3} }{ x_1^{2} + x_2^{2} } $$

$$ \Longrightarrow last solution A= \frac{-10}{7} $$

Answer 1

از قسمت مثلثاتی داریم:

$f(tan^2x)=1-2sin^2x=cos2x= \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x} \Rightarrow f(x)= \frac{1-x}{1+x} ,(x \geq 0)$(چرا؟)

حالا اگر در قسمت غیر مثلثاتی به جای $x$ قرار دهیم $ \frac{1}{x} $ و دو معادله را ساده کنیم به دست می آوریم:

$f(x- \frac{1}{x} )-f(-(x- \frac{1}{x} ))= \frac{1}{2} (x- \frac{1}{x} ) \Rightarrow f(x)-f(-x)=\frac{x}{2}$

حالا دنبال معادلۀ $f$ برای مقادیر منفی هستیم.بنابراین:

$if:x<0 \Rightarrow -x>0 \Rightarrow f(x)=f(-x)-\frac{x}{2}= \frac{1+x}{1-x} +\frac{x}{2} $

حالا بریم سراغ ریشه ها:

$f(x)=0 \Rightarrow x_1=1,x_2^2=3x_2+2 \Rightarrow x_1=1,x_2= \frac{3- \sqrt{17} }{2} $

$ \Box $