آیا اگر $AA^t=A^tA$ آنگاه عدد شرط ماتریس $A$ یک است؟ بعلاوه نشان دهید عدد شرط $A^tA$ مجذور عدد شرط $A$ است.

Question

عدد شرط یک ماتریس مانند $A$ را با $\kappa(A)$ نمایش دهید. در این صورت دو گزارهٔ زیر را ثابت کنید.

الف) $$A^tA=AA^t\;\Longrightarrow\; \kappa(A)=1$$

ب) $$\kappa(A^tA)=\big(\kappa(A)\big)^2$$

Comments

@janmohammadiali به نظر پرسش‌تان را ناقص نوشته‌اید. فرض‌تان فکر کنم $A^tA=AA^t=I$ بوده است.

Answer 1

همان‌گونه که در دیدگاه برایتان اشاره کردم بخش نخست پرسش‌تان اشتباه است.فرض می‌کنیم تعریف عدد شرطِ یک ماتریس را می‌دانید (و گر نه بهتر می‌بود به جای ارسال این پرسش، ابتدا پیرامون خود تعریف عدد شرط پرسش می‌فرستادید). ماتریس زیر را در نظر بگیرید.

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{bmatrix}$$

روشن است که $A=A^t$. اما عدد شرط این ماتریس برابر با ۱ نیست، بلکه برابر با ۳ است. برای اشخاصی که علاقه‌مند هستند، نرم‌افزارهای ریاضی متعددی دستورِ آماده برای محاسبهٔ عدد شرط ماتریس‌ها دارند. برای نمونه در نرم‌افزار Maple می‌توانید از دستور ConditionNumber در بستهٔ LinearAlgebra، در نرم‌افزار Matlab از دستور cond استفاده کنید (البته توجه کنید که بدون مشخص کردن نرم، به طور پیش‌فرض نرم-۲ را در نظر خواهندگرفت).

LinearAlgebra:-ConditionNumber(Matrix([[1,2],[2,1]]));

cond([1,2;2,1])

و اما چرا شکلی که در دیدگاه برایتان نوشتم درست است. اگر $A^tA=I$ آنگاه $\kappa(A^tA)=\kappa(I)=1$ و از طرفی بنا به بخش دوم پرسش‌تان $\kappa(A^tA)=(\kappa(A))^2$ پس $(\kappa(A))^2=1$ ولی $\kappa(A)$ یک عدد حقیقی مثبت است پس باید $\kappa(A)=1$.