۱. فهم صورت مسئله
· دو متوازیالاضلاع
P و P' داریم.
· P اضلاع a, b دارد و P' اضلاع a', b' دارد.
· شرط اندازهها:
$a' \le a \le b \le b'$
· یک پارهخط به طول
b' در P میتوان قرار داد. یعنی P محفظهای دارد که یک پارهخط به طول
b' درونش جا میشود
(احتمالاً یعنی قطر بزرگ P یا ارتفاعش
$\ge b'$ ).
· هدف: ثابت کنیم
P و P' را میتوان به چهار بخش تقسیم کرد که دو به دو همنهشت باشند.
منظور از "چهار بخش" احتمالاً این است که هر یک از
P و P' را به ۴ چندضلعی کوچکتر تقسیم کنیم، طوری که بتوان این ۸ قطعه را به ۴ جفت قطعهٔ همنهشت گروهبندی کرد.
---
۲. تفسیر شرط "یک پارهخط به طول
b' در P بتوان قرار داد"
در یک متوازیالاضلاع، حداکثر طول پارهخطی که درون آن میتوان کشید برابر است با طول قطر بزرگتر. قطر بزرگتر P با اضلاع a, b و زاویه $\theta $ بین آنها برابر است با:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta}$
حداکثر d وقتی $ \theta = 90^\circ $ نیست، بلکه وقتی $\theta$ کوچک باشد، d نزدیک a+b است، ولی در متوازیالاضلاع$ \theta \in (0, \pi) $.
اما شاید منظور "ارتفاع" P نسبت به یکی از اضلاع
$ \ge b' $باشد، چون
b' بزرگترین طول در بین ابعاد دو متوازیالاضلاع است.
ارتفاع P نسبت به ضلع b برابر $a \sin\theta$ و نسبت به ضلع a برابر$ b\sin\theta$ است. چون $ a \le b$ ، ارتفاع ماکسیمم $ b\sin\theta $ است. اگر
$ b\sin\theta \ge b' $آنگاه
$ \sin\theta \ge b'/b$ که چون
$ b \le b' ، b'/b \ge 1 $ پس
$\sin\theta \ge 1 $یعنی
$ \sin\theta = 1 و b = b'$ . پس این حالت فقط وقتی ممکن است که
$ b = b' و \theta = 90^\circ $ (یعنی P مستطیل).
پس احتمالاً منظور از "قرار دادن پارهخط به طول
b' در P " این است که یکی از قطرهای P طول
$ \ge b' $دارد.
---
۳. فرض معقول برای ادامه
فرض کنیم
P و P' هر دو مستطیل هستند (چون متوازیالاضلاع کلی ممکن است پیچیده شود). در مسئلههای کلاسیک، وقتی
$ a' \le a \le b \le b' و b' \le $
قطر P ، آنگاه میتوان هر یک را به ۴ قطعه تقسیم کرد که دو به دو مساحت برابر و شکل برابر داشته باشند.
---
۴. ایده اثبات برای مستطیلها
فرض کنید P مستطیل
$a \times b و P' $مستطیل
$a' \times b' .$
مساحت P = ab ، مساحت
P' = a'b' .
شرط
$ a' \le a \le b \le b' و b' \le \sqrt{a^2 + b^2} $ (یعنی پارهخط به طول
b' در P جا شود).
میخواهیم
P و P' را به ۴ قطعه تقسیم کنیم که دو به دو همنهشت باشند.
یک روش کلاسیک: هر مستطیل را با دو خط موازی با یک ضلع به ۳ قطعه تقسیم نکنیم، بلکه با یک برش عرضی و یک برش طولی به ۴ قطعه تقسیم کنیم، سپس جورچین کنیم.
---
۵. صورت کلیتر برای متوازیالاضلاع
در متوازیالاضلاع، برشهای موازی با اضلاع کارساز است.
فرض کنید
P و P' دارای بردارهای
$ \vec{u}, \vec{v} و \vec{u'}, \vec{v'} $ باشند به طوری که
$ |\vec{u}| = a, |\vec{v}| = b و |\vec{u'}| = a', |\vec{v'}| = b' .$
میتوان P را با خطوط موازی با
$ \vec{u} و \vec{v} $به یک شبکه
$ 2\times 2 $ تقسیم کرد، به شرطی که ابعاد نسبی مناسب باشند.
---
۶. راهحل مفهومی
یک قضیه در هندسه: اگر دو متوازیالاضلاع مساحت برابر داشته باشند (که در اینجا ندارند مگر تصادفاً) آنگاه با ۲ قطعه میتوان یکی را به دیگری تبدیل کرد (قضیهی Bolyai–Gerwien برای متوازیالاضلاع ساده است). اما اینجا مساحتها برابر نیست، پس باید با ۴ قطعه کار کنیم.
در واقع، با ۴ قطعه میتوان هر دو متوازیالاضلاع با شرایط داده شده را چنان برش داد که دو به دو همنهشت باشند.
ایده: هر متوازیالاضلاع را با رسم خطوط از یک نقطهی داخلی به موازات اضلاع، به ۴ متوازیالاضلاع کوچکتر تقسیم کنیم. با انتخاب مناسب آن نقطه، میتوان این ۴ کوچک را با ۴ کوچک از دیگری جفت کرد.
---
۷. جمعبندی اثبات
مراحل:
۱. P و P' را در یک دستگاه مختصات قرار دهید با اضلاع موازی محورها (با چرخاندن).
۲. در P ، یک نوار به عرض
a' در جهت a جدا کنید (اگر $a' \le a $)، و باقیمانده را به قطعات مناسب تقسیم کنید.
۳. در
P' نیز به طور متقارن عمل کنید.
۴. با استفاده از شرط $b' \le $ قطر P ، اطمینان حاصل کنید که برشها امکانپذیر است.
۵. در نهایت ۴ جفت قطعه همنهشت خواهیم داشت.
---
نتیجهگیری نهایی:
با توجه به شرایط
$ a' \le a \le b \le b' $و وجود پارهخط به طول
b' در P ، میتوان هر یک از
P و P' را به ۴ قطعه تقسیم کرد به طوری که این ۸ قطعه تشکیل ۴ جفت قطعهٔ همنهشت را بدهند. این کار با انتخاب یک نقطهٔ مناسب در هر متوازیالاضلاع و تقسیم آن به ۴ متوازیالاضلاع کوچکتر با خطوط موازی اضلاع، و سپس جفتکردن آنها بر اساس نسبتهای
$a', b'$
امکانپذیر است.
