به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
5,968 بازدید
در دانشگاه توسط

تفاوت اندازه لبگ و اندازه بورل چیست؟

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+5 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

بیا از اول شروع کنیم. در واقع ما علاقه مندیم که به هر مجموعه $ E\subset\mathbb{R}^n $ یک اندازه یا حجمی رو که معمولا با $ \mu(E) $ نمایش می‌دهیم نسبت دهیم به طوریکه:

  • برای هر $E\subset \mathbb{R}^n $ داشته باشیم: $0\leq\mu(E)\leq\infty $ .
  • اگر $E_1 $ و $E_2 $ و... تعدادی متناهی یا شمارا مجموعه‌ی مجزا باشند آنگاه: $$\mu(\bigcup_iE_i)=\sum_i\mu(E_i)$$
  • اگر $ E $ و $F $ دو مجموعه‌ی هم‌نهشت باشند، یعنی یکی از آنها با انتقال یا دوران یا بازتابی از مجموعه‌ی دیگر حاصل شده باشد، آنگاه $ \mu(E)=\mu(F) $ .
  • $ \mu([0,1)^n)=1 $ .

اما قضیه‌ای که خیلی معروفه و در هر کتاب آنالیز حقیقی میتونید اثباتشو پیدا کنید اینه که:

قضیه: هیچ تابع $ \mu $ با چهار ویژگی بالا وجود ندارد!

مراحلی که برای معرفی اندازه لبگ پیموده میشوند به قرار زیر است:

قدم اول:

ابتدا با کلاس خاصی از زیرمجموعه‌های $ \mathbb{R}^n $ که می‌دانیم چطوری آنها را اندازه بگیریم، یعنی بازه‌ها در $\mathbb{R} $ یا اصطلاحا مکعب‌ها در $\mathbb{R}^n $ ، شروع می‌کنیم. در این حالت بیان می‌شود که اندازه آنها برابر حجم آنها است.

شرح قدم اول:

در واقع برای هر مجموعه‌ی به شکل $$ A=[a_1, b_1]\times...\times [a_n,b_n]= \prod_1^n [a_i,b_i] $$ در $\mathbb{R}^n $ حجم این مجموعه برابر با $$ vol(A)=(b_1-a_1)...(b_n-a_n)=\prod_1^n(b_i-a_i) $$ تعریف می‌شود.

قدم دوم:

سپس روشی برای توسعه دادن مفهوم اندازه به همه‌ی زیر مجموعه‌های $ \mathbb{R}^n $ پیدا میکنیم. برای هر $ E\subset\mathbb{R}^n $ یک مقدار نامنفی در اعداد حقیقی توسعه یافته که با $\mu_e(E) $ یا $ \mu^* $ نمایش داده می‌شود نسبت میدهیم. در واقع $\mu^* $ اندازه خارجی نامیده می‌شود. خبر خوب اینه که همه زیرمجموعه‌های $\mathbb{R}^n $ دارای اندازه خارجی یکتا هستند. خبر بد اینه که $\mu^* $ اندازه نیست!

شرح قدم دوم:

اگر تعریف کنیم: $$ \mu^*(E)=\inf \big\{\Sigma_kvol(A_k):E\subset\bigcup_1^\infty A_k\big\} $$ که $\inf $ روی تمام گردایه‌های متناهی یا شمارا از مکعب های $A_k $ گرفته شده است، می‌توان نشان داد که $ \mu^* $ یک اندازه خارجی است، یعنی:

  • $ 0\leq\mu^*(E)\leq\infty $
  • $ \mu^*(\emptyset)=0 $
  • اگر $E\subset F $ آنگاه $ \mu^\star(E) \leq \mu^\star(F) $
  • $\mu^\star(\bigcup_1^\infty A_i)\leq\Sigma_1^\infty\mu^\star(A_i) $

به سادگی می‌توان نشان داد $ \mu^* $ در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:

  • $0\leq\mu^*(E)\leq\infty $ برای هر $ E\subset \mathbb{R}^n $
  • $\mu^\star(E+h)=\mu^\star(E) $ برای هر $E\subset\mathbb{R}^n $ و هر $h\in\mathbb{R}^n $ (هم‌نهشتی)
  • $ \mu^*([0,1)^n)=1 $ . در واقع این تساوی برای هر مکعبی برقرار است.

پس از قضیه بالا نتیجه می‌گیریم که $\mu^* $ امکان ندارد که جمعی شمارا باشد و لذا نمی تواند یک اندازه باشد.

قدم سوم:

و در مرحله آخر راهی برای محدود کردن توجهمان به کلاسی کوچکتر از مجموعه‌ها، یعنی سیگما جبر لبگ $ \mathcal{L} $ ، پیدا میکنیم. نشان می‌دهیم که اگر $ \mu:=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ در نظر بگیریم، یعنی $\mu $ برابر تحدید $\mu^* $ به سیگما جبر لبگ باشد، آنگاه $\mu $ یک اندازه است. این اندازه همان اندازه لبگ روی $ \mathbb{R}^n $ است.

شرح قدم سوم:

تعریف: مجموعه‌ی $A\subset \mathbb{R}^n $ را $\mu^* $ -اندازه‌پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $ E\subset\mathbb{R}^n $ داشته باشیم: $$\mu^*(E)=\mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c) $$ .

قرار می‌دهیم: $$\mathcal{L}= \big\{E\subset\mathbb{R}^n: E\ \text{ is }\ \mu^*-\text{measurable}\big\} $$ در اینصورت می‌توان نشان داد که

$ \mathcal{L} $ یک سیگماجبر است.

$\mathcal L$ را سیگماجبر لبگ گوییم. و همینطور داریم:

اگر قرار دهیم $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ ، یعنی $ \mu $ را تحدید $\mu^* $ به سیگماجبر لبگ $ \mathcal{L} $ در نظر بگیریم، آنگاه $\mu $ یک اندازه کامل است.

پس توجه کن که $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ نه تنها اندازه است بلکه یک اندازه‌ی کامل نیز هست. این اندازه را اندازه لبگ گویند.


خوب حالا ببینیم اندازه بورل چی بود.

یاد‌آوری می‌کنم که سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ روی $ \mathbb{R}$ یا $\mathbb{R}^n $ عبارت است از کوچکترین سیگماجبری که شامل تمام زیرمجموعه‌های باز از $\mathbb{R} $ یا $ \mathbb{R}^n $ است. هر اندازه‌ای روی $ \mathbb{R} $ که در نظر میگیریم حتما باید سیگماجبر آن مشخص باشد. اگر این سیگما جبر، سیگما جبر بورل $\mathcal{B} $ باشد آنگاه هر اندازه‌ای روی $\mathbb{R} $ را یک اندازه‌ی بورل می‌نامیم.

مثال1: فرض کنید $\mathbb{R} $ با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ باشد و اندازه $\delta_0(E)= \begin{cases}1 & 0\in E\\0 & 0\notin E\end{cases} $ را در نظر بگیرید. در اینصورت چون سیگماجبر روی اعداد حقیقی سیگماجبر بورل در نظر گرفته شده است لذا $\delta_0 $ در اینجا یک اندازه بورل است.

مثال2: در بالا اندازه لبگ $\mu=\mu^*|_\mathcal L$ را روی $ \mathbb{R} $ و درحالت کلی $ \mathbb{R}^n $ تعریف کردیم. که در آن $\mathcal L$ سیگماجبر لبگ بود.

می‌دانیم همواره $ \mathcal{B}\subset\mathcal{L} $ ، یعنی سیگماجبر بورل یک زیرمجموعه‌ی سره سیگماجبر لبگ است. بنابراین می توان یک اندازه جدید $\mu\vert_\mathcal{B} $ را با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ در نظر بگیریم. چون سیگماجبر $\mu\vert_\mathcal{B} $ سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ است لذا $ \mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازه بورل است.

توجه کنید که $\mu $ و $\mu\vert_\mathcal{B} $ دو اندازه کاملا متفاوت هستند و همواره $\mu $، یعنی اندازه لبگ، یک اندازه‌ی کامل است در حالیکه $\mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازه‌ی کامل نیست.

در بعضی از کتاب‌ها تنها لفظ اندازه‌ی لبگ استفاده می‌شود و شما باید از متن متوجه بشوید که سیگما جبر بورل مورد نظر است یا سیگماجبر لبگ.

توسط asadollah
+2
بسیار عالی بود.
توسط shabnam
+2
خیلی عالی بود. تشکر.
سوال شده شهریور ۲۷, ۱۳۹۴ در دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده شهریور ۲۹, ۱۳۹۴ توسط fardina
تعریف تابع اندازه پذیر کراندار
توسط
+2
سلام . این مفاهیم ونمی شه یه جور بصورت شکل یا طرحی سادن تر نشان داد که اینقدر محض نباشه .
توسط fardina
+1
@eg224
در واقع ما هم همین کارو کردیم! اگر مرحله اول رو نگاه کنید گفتیم که " با کلاس خاصی از زیرمجموعه‌های $\mathbb R^n$ که می‌دانیم چطوری آنها را اندازه بگیریم" شروع میکنیم که همانا مکعبها هستن. ولی خوب بعضی مجموعه ها رو واقعا درک نمیکنیم!(یعنی منظورم اینه که بعضی وقتها زیرمجموعه های پیچیده ای وجود دارند که درک و شهود ما زیاد نمیتونه بهمون کمک کنه!)
0 امتیاز
توسط عقیل خلیلاوی

اندازه لبگ

1-اندازه لبگ یه تابع است که دامنه آن نیم حلقه (این نیم حلقه یک مجموعه است که شامل تهی و بازه های نیم باز است) و برد این تابع هم زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی نامنفی است. ضابطه تابع هم به این صورت است که تهی را به صفر میبرد و هر بازه را به طول بازه میبرد.

همچنین این نیم حلقه را میتونید مجموعه شامل حاصل ضرب این نیم بازه ها همراه با تهی در نظر بگیرید در این صورت ضابطه تابع به صورت زیر میشود یعنی تهی را به صفر میبرد و حاصل ضرب نیم بازه ها را به حاصل ضرب طول ها میبرد.

اندازه برل

۲-فرض کنیم (X, T) یک فضای توپولوژیک باشد، در این صورت سیگما جبر تولید شده توسط توپولوژی T را سیگما جبر برل نامیم و این سیگما جبر را با K نمایش میدهیم. در این صورت به جفت (X, K) فضای اندازه برل ، به اعضای K مجموعه های اندازه پذیر برل نامیم.

نکته ۱: تعریف های معادل برای مجموعه های برل:

الف: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های بسته است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

ب: مجموعه های برل فضای متریک (X,d) کوچکترین گردایه از زیر مجموعه های X شامل تمام مجموعه های باز است که تحت اشتراک شمارا و اجتماع شمارای مجزا بسته است.

نکته ۲: روی یک فضای اندازه پذیر بیشمار تابع اندازه قابل تعریف است که آن را به یک فضای اندازه تبدیل کند. بنابراین روی برل اندازه پذیرها هم میتوان نیز میتوان بیشمار تابع اندازه تعریف کرد.

نکته ۳: تابع اندازه پذیر منحصر به فردی روی برل اندازه پذیرها میتوان تعریف کرد که اندازه هر بازه برابر طول بازه باشد و آن همتن تحدید اندازه لبگ به سیگما جبر برل میباشد.

نکته ۴: فرض کنیم K سیگما جبر برل باشد، یک تابع مانند f از فضای اندازه پذیر (X, K) به فضای توپولوژیک (Y, N) تعریف میکنیم با این شرط که هر عضو N را تحت تابع وارون f به یک عضو K تصویر کند، در این صورت تابع f را، تابع اندازه پذیر برل نامیم.

توسط AmirHosein
تعریفی که از اندازهٔ لبگ کرده‌اید کامل نیست. برخی از  جمله‌ها نیز نامفهوم هستند. «هم میتوان نیز میتوان» یعنی چه؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...