بیا از اول شروع کنیم. در واقع ما علاقه مندیم که به هر مجموعه $ E\subset\mathbb{R}^n $ یک اندازه یا حجمی رو که معمولا با $ \mu(E) $ نمایش میدهیم نسبت دهیم به طوریکه:
- برای هر $E\subset \mathbb{R}^n $ داشته باشیم: $0\leq\mu(E)\leq\infty $ .
- اگر $E_1 $ و $E_2 $ و... تعدادی متناهی یا شمارا مجموعهی مجزا باشند آنگاه: $$\mu(\bigcup_iE_i)=\sum_i\mu(E_i)$$
- اگر $ E $ و $F $ دو مجموعهی همنهشت باشند، یعنی یکی از آنها با انتقال یا دوران یا بازتابی از مجموعهی دیگر حاصل شده باشد، آنگاه $ \mu(E)=\mu(F) $ .
- $ \mu([0,1)^n)=1 $ .
اما قضیهای که خیلی معروفه و در هر کتاب آنالیز حقیقی میتونید اثباتشو پیدا کنید اینه که:
قضیه: هیچ تابع $ \mu $ با چهار ویژگی بالا وجود ندارد!
مراحلی که برای معرفی اندازه لبگ پیموده میشوند به قرار زیر است:
قدم اول:
ابتدا با کلاس خاصی از زیرمجموعههای $ \mathbb{R}^n $ که میدانیم چطوری
آنها را اندازه بگیریم، یعنی بازهها در $\mathbb{R} $ یا اصطلاحا مکعبها در $\mathbb{R}^n $ ، شروع میکنیم. در این حالت بیان میشود که اندازه آنها برابر حجم آنها است.
شرح قدم اول:
در واقع برای هر مجموعهی به شکل
$$ A=[a_1, b_1]\times...\times [a_n,b_n]= \prod_1^n [a_i,b_i] $$
در
$\mathbb{R}^n $
حجم این مجموعه برابر با
$$ vol(A)=(b_1-a_1)...(b_n-a_n)=\prod_1^n(b_i-a_i) $$
تعریف میشود.
قدم دوم:
سپس روشی برای توسعه دادن مفهوم اندازه به همهی زیر مجموعههای $ \mathbb{R}^n $ پیدا میکنیم. برای هر
$ E\subset\mathbb{R}^n $ یک مقدار نامنفی در اعداد حقیقی توسعه یافته که با $\mu_e(E) $ یا
$ \mu^* $ نمایش داده میشود نسبت میدهیم. در واقع $\mu^* $ اندازه خارجی نامیده میشود. خبر خوب اینه که همه زیرمجموعههای $\mathbb{R}^n $ دارای اندازه خارجی یکتا هستند. خبر بد اینه که $\mu^* $ اندازه نیست!
شرح قدم دوم:
اگر تعریف کنیم:
$$ \mu^*(E)=\inf \big\{\Sigma_kvol(A_k):E\subset\bigcup_1^\infty A_k\big\} $$
که $\inf $ روی تمام گردایههای متناهی یا شمارا از مکعب های $A_k $ گرفته شده است، میتوان نشان داد که $ \mu^* $ یک اندازه خارجی است، یعنی:
- $ 0\leq\mu^*(E)\leq\infty $
- $ \mu^*(\emptyset)=0 $
- اگر $E\subset F $ آنگاه $ \mu^*(E) \leq \mu^*(F) $
- $\mu^*(\bigcup_1^\infty A_i)\leq\Sigma_1^\infty\mu^*(A_i) $
به سادگی میتوان نشان داد $ \mu^* $ در ویژگیهای زیر صدق میکند:
- $0\leq\mu^*(E)\leq\infty $ برای هر $ E\subset \mathbb{R}^n $
- $\mu^*(E+h)=\mu^*(E) $ برای هر $E\subset\mathbb{R}^n $ و هر $h\in\mathbb{R}^n $ (همنهشتی)
- $ \mu^*([0,1)^n)=1 $ . در واقع این تساوی برای هر مکعبی برقرار است.
پس از قضیه بالا نتیجه میگیریم که $\mu^* $ امکان ندارد که جمعی شمارا باشد و لذا نمی تواند یک اندازه باشد.
قدم سوم:
و در مرحله آخر راهی برای محدود کردن توجهمان به کلاسی کوچکتر از مجموعهها، یعنی سیگما جبر لبگ $ \mathcal{L} $ ، پیدا میکنیم. نشان میدهیم که اگر $ \mu:=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ در نظر بگیریم، یعنی
$\mu $ برابر تحدید $\mu^* $ به سیگما جبر لبگ باشد، آنگاه $\mu $ یک اندازه است. این اندازه همان اندازه لبگ روی $ \mathbb{R}^n $ است.
شرح قدم سوم:
تعریف: مجموعهی $A\subset \mathbb{R}^n $ را $\mu^* $ -اندازهپذیر گوییم هرگاه به ازای هر $ E\subset\mathbb{R}^n $ داشته باشیم:
$$\mu^*(E)=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c) $$ .
قرار میدهیم:
$$\mathcal{L}= \big\{E\subset\mathbb{R}^n: E\ \text{ is }\ \mu^*-\text{measurable}\big\} $$
در اینصورت میتوان نشان داد که
گردایه $ \mathcal{L} $ یک سیگماجبر است.
این سیگماجبر $\mathcal L$ را سیگماجبر لبگ گوییم. و همینطور داریم:
اگر قرار دهیم $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ ، یعنی $ \mu $ را تحدید $\mu^* $ به سیگماجبر لبگ $ \mathcal{L} $ در نظر بگیریم، آنگاه $\mu $ یک اندازه کامل است.
پس توجه کن که $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal{L} $ نه تنها اندازه است بلکه یک اندازهی کامل نیز هست. این اندازه را اندازه لبگ گویند.
خوب حالا ببینیم اندازه بورل چی بود.
یادآوری میکنم که سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ روی $ \mathbb{R}$ یا $\mathbb{R}^n $ عبارت است از کوچکترین سیگماجبری که شامل تمام زیرمجموعههای باز از $\mathbb{R} $ یا
$ \mathbb{R}^n $ است. هر اندازهای روی $ \mathbb{R} $ که در نظر میگیریم حتما باید سیگماجبر آن مشخص باشد. اگر این سیگما جبر، سیگما جبر بورل $\mathcal{B} $ باشد آنگاه هر اندازهای روی $\mathbb{R} $ را یک اندازهی بورل مینامیم.
مثال1: فرض کنید $\mathbb{R} $ با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ باشد و اندازه
$\delta_0(E)= \begin{cases}1 & 0\in E\\0 & 0\notin E\end{cases} $ را در نظر بگیرید. در اینصورت چون سیگماجبر روی اعداد حقیقی سیگماجبر بورل در نظر گرفته شده است لذا $\delta_0 $ در اینجا یک اندازه بورل است.
مثال2: در بالا اندازه لبگ $\mu=\mu^*|_\mathcal L$ را روی $ \mathbb{R} $ و درحالت کلی $ \mathbb{R}^n $ تعریف کردیم. که در آن $\mathcal L$ سیگماجبر لبگ بود.
میدانیم همواره $ \mathcal{B}\subset\mathcal{L} $ ، یعنی سیگماجبر بورل یک زیرمجموعهی سره سیگماجبر لبگ است. بنابراین می توان یک اندازه جدید $\mu\vert_\mathcal{B} $ را با سیگماجبر بورل $ \mathcal{B} $ در نظر بگیریم. چون سیگماجبر $\mu\vert_\mathcal{B} $ سیگماجبر بورل
$ \mathcal{B} $ است لذا $ \mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازه بورل است.
توجه کنید که $\mu $ و $\mu\vert_\mathcal{B} $ دو اندازه کاملا متفاوت هستند و همواره
$\mu $، یعنی اندازه لبگ، یک اندازهی کامل است در حالیکه $\mu\vert_\mathcal{B} $ یک اندازهی کامل نیست.
در بعضی از کتابها تنها لفظ اندازهی لبگ استفاده میشود و شما باید از متن متوجه بشوید که سیگما جبر بورل مورد نظر است یا سیگماجبر لبگ.
