فقط ایده را میگم:
$ \frac{1+3x}{x(1+x)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{1+x} $
$I_1:= \int _0^1 \frac{LnxLn(1+x)}{x} dx,I_2= 2\int _0^1 \frac{LnxLn(1+x)}{1+x} dx $
انتگرال اول با تغییر متغیر $u:=Lnx$ و انتگرال دوم با تغییر متغیر $v:=Ln(1+x)$ به انتگرال های $Li$ تبدیل می شوند , :
$I_1= -\frac{3 \zeta (3)}{4} ,I_2=- \frac{ \zeta (3)}{4} $
$ \Rightarrow \int _0^1 \frac{1+3x}{1+x} \frac{LnxLn(1+x)}{x} dx=I_1+I_2=- \zeta (3)$
$ \Box $
در ضمن انتگرال به کمک سری $Ln(1+x)$ و $ \frac{1}{1+x} $ و جابجایی انتگرال و سیگما هم حل می شود.
