Question

نشان دهید: $$S= \sum _ {k=1} ^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p+1} } =p+1- \sum _ {m=2} ^ {p+1} \zeta (m) $$ $$S=p+1-\zeta (2)- \zeta (3)- \zeta (4)-....- \zeta (p+1)$$

Answer 1

$$note: \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p+1} }= \sum _ {k=1}^ \infty ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} )( \frac{1}{ (k+1)^{p} } ) = \sum_ {k=1}^ \infty \frac{1}{ k(k+1)^{p} } - \sum_ {k=1}^ \infty \frac{1}{ (k+1)^{p+1} } = \sum_ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p} } - \sum _ {k=1} ^ \infty \frac{1}{ (k+1)^{p+1} } = \sum_ {k=1}^ \infty \frac{1}{ (k+1)^{p} } -[ \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{ k^{p+1} }-1 ] = \sum _ {k=1} ^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p} }- \zeta (p+1)+1=1- \zeta (p+1)+ \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p} } ,and now: \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p} } = \sum _ {k=1} ^ \infty ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} ) \frac{1}{ (k+1)^{p-1} }= \sum_ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p-1} } - \sum_ {k=1} ^ \infty \frac{1}{ (k+1)^{p} } = \sum_ {k=1} ^ \infty -[ \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{ k^{p} } -1 ] = \sum _ {k=1} ^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p-1} } - \zeta (p)+1= \Longrightarrow 1- \zeta (p+1)- \zeta (p)+1+ \sum _ {k=1}^ \infty \frac{1}{k (k+1)^{p-1} } =1- \zeta (p+1)+1- \zeta (p)+1- \zeta (p-1)+1- \zeta (p-1)+1-...=1(p+1)- \zeta (p+1)- \zeta (p)- \zeta (p-1)- \zeta(p-2)- ...- \zeta (2)=(p+1)- \sum _ {m=2} ^ {p+1} \zeta (m) $$

Comments

اولن استدلال زمانی درست است که p عددی طبیعیی باشد.برای مقادیر دیگر p چه راهکاری دارید.
در ضمن استدلالتان در یک منفی ایراد دارد.

---

در صورت سوال دو بار از حرف بزرگ S استفاده شده که دومی که تکمیل کننده سوال است ،طبیعی بودن عدد p  را، نشان می‌دهد.