Question

اگر f بر بازه $$[0,a]$$ دارای مشتق دوم باشد و داریم: $$ \forall x \in [0,a]:f''(x) < 0 \wedge f(0)=0$$ ثابت کنید: $$ \forall x \in (0,a) \wedge \forall m \in (0,1)\Longrightarrow mf(x) < f(mx) $$

Comments

اگر m=1 آنگاه نتیجه درست نیست زیرا f(x)<f(x) درست نیست.

---

با عرض معذرت در قسمت اثبات بازه ها باز بودند که اصلاح کردم.

---

داریم:

·  f  روی $[0,a] $
دو بار مشتق‌پذیر است.
· برای هر
$  x \in [0,a] $
 داریم:

$f''(x) < 0$

یعنی  f  روی این بازه مقعر است (strictly concave).

· $ f(0) = 0$ .
· باید ثابت کنیم برای هر
$ x \in (0,a) $ و هر  
$m \in (0,1) $:

$m f(x) < f(mx)$.

---

۲. استفاده از تقعر

اگر  f  روی
 $[0,a] $
مقعر باشد
(با
$ f''<0$ )
، آنگاه نابرابری ینسن به صورت سخت برقرار است:

برای
$ t \in (0,1) $ و  
$0 < u < v $:

$f(tu + (1-t)0) > t f(u) + (1-t) f(0).$

اما  f(0) = 0 ، پس:

$f(tu) > t f(u).$

---

۳. تطبیق با مسئله

در مسئله ما:

·  $u = x  که  x \in (0,a) .$
·  $t = m  که  m \in (0,1)$ .
·  $m x \in (0, x) \subset (0,a)$ .

بنابراین:

$f(mx) > m f(x) + (1-m) f(0) = m f(x)$.

پس:

$m f(x) < f(mx).$

---

۴. اثبات دقیق‌تر با قضیه مقدار میانگین

برای اینکه کاملاً دقیق باشیم، از تعریف مشتق و تقعر استفاده می‌کنیم.

لم: اگر  f  روی
 [$0,a] $
مقعر باشد و  
f(0)=0 ، آنگاه تابع  
$g(t) =\frac{f(t)}{t} $
 برای $ t>0 $ نزولی است.

اثبات لم:

$g'(t) = \frac{t f'(t) - f(t)}{t^2}$.

طبق قضیه مقدار میانگین،
 $f(t) = f(t) - f(0) = t f'(\xi) $
 برای  

$\xi \in (0,t) .$

از تقعر،
$ f'  $
نزولی است، بنابراین
 $f'(t) < f'(\xi) $
 اگر $ \xi < t ؟$
دقت:
$ \xi \in (0,t) $، پس
  $f'(\xi) > f'(t) $ چون  
f''<0  یعنی  
f'  
اکیداً نزولی است.

پس$  f(t) = t f'(\xi) > t f'(t) $.

بنابراین:

$t f'(t) - f(t) < 0 \quad \Rightarrow \quad g'(t) < 0$.

پس  g  اکیداً نزولی است.

---

۵. اعمال لم

$ g(x) = \frac{f(x)}{x} $
نزولی است.

اگر
 $ 0 < m x < x $،
 آنگاه:

$g(mx) > g(x)$.

یعنی:

$\frac{f(mx)}{mx} > \frac{f(x)}{x}.$

ضرب در
$  m x  $(مثبت):

$f(mx) > m f(x)$.

که همان حکم است.

---

پاسخ نهایی:

$\boxed{m f(x) < f(mx)}$

برای
$ x \in (0,a)$
  و  $m \in (0,1) $.

Answer 1

$$g(x)=mf(x)-f(mx): f''in [0,a] exists \Longrightarrow f,f'in [0,a]"continuity function "and f' exists \Longrightarrow g(x) in [0,a] "differentiable" \Longrightarrow g'(x)=m(f'(x)-f'(mx)) \wedge f''(x) < 0 \Longrightarrow f' on[0,a] "strictly downward:0 < x \wedge 0 < m < 1 \Longrightarrow mx < x \Longrightarrow f'(x)-f'(mx) < 0 \Longrightarrow f'(x) < f'(mx) \wedge 0 < m \Longrightarrow g'(x) < 0:g "strictly decreasing function \wedge 0 < x \Longrightarrow g(x) <g(0) \Longrightarrow mf(x)-f(mx) < mf(0)-f(0) \Longrightarrow mf(x) < f(mx) $$ به ازای x=0 تساوی برقرار است.

Answer 2

در بازۀ $[0,a]$ چون $(-f)''=-f''>0$ پس تابع $-f$ در این بازه اکیدن محدب است پس:

$ \forall m \in (0,1):0<m,1-m<1,m+(1-m)=1$

$ \Rightarrow \forall m \in (0,1),\forall x \in (0,a]:$

$(-f)((1-m) \times 0+mx)<(1-m)(-f)(0)+m(-f)(x)$

$ \Rightarrow (1-m) \times 0-f(mx)<-mf(x) \Rightarrow 0-f(mx)<-mf(x) $

$\Rightarrow mf(x)<f(mx)$

$ \Box $