نامساوی داده شده:
$1 < \tan\left( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right) + \tan\left( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right)$
برای همه
$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
\quad\text{و}\quad
\alpha \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right].$
علامت ∀ یعنی برای هر x و هر $\alpha $در بازههای داده شده، این نامساوی برقرار است.
---
2. تحلیل دامنهی تانژانتها
تابع $\tan t $وقتی t به $\frac{\pi}{2} $نزدیک شود، به$ +\infty $میل میکند، اما باید مطمئن شویم آرگومانهای تانژانت از$ \pi/2 $کمتر باشند تا مقدار محدود داشته باشند.
مقدار $\sin x $در $[0, \pi/2]$
بین 0 و 1 است.
$\cos x$
هم بین 0 و 1.
پس:
$\frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \le \frac{\pi \cdot 1}{4 \cdot \sin\alpha}$.
حداکثر وقتی $\sin\alpha$ مینیمم باشد، یعنی $\alpha = \pi/6$
،$ \sin\alpha = 1/2$:
$\frac{\pi}{4 \cdot (1/2)} = \frac{\pi}{2}$.
اما اگر
$ \sin x = 1 $و
$ \alpha = \pi/6$
، آنگاه:
$\frac{\pi \sin x}{4 \sin\alpha} = \frac{\pi}{4 \cdot 1/2} = \frac{\pi}{2}$.
در این حالت $\tan(\pi/2) $تعریف نشده است (بینهایت). پس در مرز، تابع تعریف ندارد. شاید منظور نامساوی strict برای مقادیری است که هر دو تانژانت محدود باشند، یا شاید باید بررسی کنیم که آیا واقعاً به
$\pi/2$
میرسیم یا نه.
---
3. آیا ممکن است هر دو آرگومان تانژانت همزمان کوچک باشند؟
اگر x=0:
$\sin x = 0 \Rightarrow \text{اولی} = \tan 0 = 0$
$\cos x = 1 \Rightarrow \text{dومی} = \tan\left( \frac{\pi}{4\cos\alpha} \right)$
کوچکترین
$\cos\alpha وقتی \alpha=\pi/3، \cos\alpha=1/2$:
$\frac{\pi \cdot 1}{4 \cdot (1/2)} = \pi/2 \quad\text{(تعریف نشده)}$
پس در x=0 و
$\alpha=\pi/،$
تابع تعریف ندارد.
در
$x=\pi/2 $
و
$\alpha=\pi/6$
هم تعریف ندارد.
پس شاید فرض مسئله این است که x و
\alpha
را طوری بگیریم که آرگومانهای تانژانت از
$\pi/2$ کمتر باشند (یعنی$ < \pi/2$
)، و در آن حوزه نامساوی را بررسی کنیم.
---
4. حداقل مقدار $ \tan A + \tan B $ تحت یک قید
فرض کنیم:
$A = \frac{\pi \sin x}{4\sin\alpha}, \quad B = \frac{\pi \cos x}{4\cos\alpha}$.
داریم A, B > 0 و A, B < \pi/2 (در دامنهای که تعریف شده).
میدانیم
$\tan در $(0, $\pi/2$
) محدب است (مشتق دوم مثبت).
اما قید بین A و B چیست؟
از
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1،$
$\left( \frac{4\sin\alpha}{\pi} A \right)^2 + \left( \frac{4\cos\alpha}{\pi} B \right)^2 = 1$.
یعنی:
$\frac{16\sin^2\alpha}{\pi^2} A^2 + \frac{16\cos^2\alpha}{\pi^2} B^2 = 1$.
یا:
$\frac{A^2}{(\pi/(4\sin\alpha))^2} + \frac{B^2}{(\pi/(4\cos\alpha))^2} = 1$.
این معادله بیضی است.
---
5. روش جایگزین: استفاده از نامساوی
$\tan u + \tan v \ge 2 \tan\left( \frac{u+v}{2} \right)$ برای u,v در بازه مناسب
نامساوی ینسن برای تابع محدب
$\tan $روی
$(0,\pi/2)$:
$\tan A + \tan B \ge 2 \tan\left( \frac{A+B}{2} \right)$.
حال:
$A+B = \frac{\pi}{4} \left( \frac{\sin x}{\sin\alpha} + \frac{\cos x}{\cos\alpha} \right)$.
میخواهیم حداقل این را روی x و
$\alpha $
پیدا کنیم.
---
6. کمینهسازی
$\frac{\sin x}{\sin\alpha} + \frac{\cos x}{\cos\alpha} $
برای
$\alpha$
ثابت، این عبارت از نظر x را کمینه میکنیم.
مشتق نسبت به x:
$\frac{\cos x}{\sin\alpha} - \frac{\sin x}{\cos\alpha} = 0$
$\Rightarrow \frac{\cos x}{\sin\alpha} = \frac{\sin x}{\cos\alpha}
\Rightarrow \tan x = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$.
پس
$x = \frac{\pi}{2} - \alpha$
نقطه بحرانی است.
مقدار عبارت در این x:
$\frac{\sin(\pi/2 - \alpha)}{\sin\alpha} + \frac{\cos(\pi/2 - \alpha)}{\cos\alpha}
= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$
یعنی:
$\cot\alpha + \tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}.$
پس:
$A+B = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\pi}{2\sin 2\alpha}$.
---
7. کمینه روی
$ \alpha$
$\alpha \in [\pi/6, \pi/3]، پس 2\alpha \in [\pi/3, 2\pi/3]$.
$\sin 2\alpha$
در این بازه حداکثر
1 (در $2\alpha=\pi/2 $
یعنی
$\alpha=\pi/4)$
و حداقل
$\sqrt{3}/2$ (
در دو انتها) را دارد.
پس
$ \frac{\pi}{2\sin 2\alpha}$
حداکثر وقتی
$\sin 2\alpha $
مینیمم باشد، ماکزیمم میشود.
اما ما میخواهیم A+B مینیمم شود، پس
$\sin 2\alpha$
ماکزیمم باشد.
ماکزیمم
$ \sin 2\alpha = 1 در \alpha=\pi/4$:
$A+B \ge \frac{\pi}{2 \cdot 1} = \frac{\pi}{2} \cdot 1?? $
ببینید:
$ A+B = \frac{\pi}{2\sin 2\alpha}$.
اگر
$\sin 2\alpha = 1، A+B = \pi/2.$
اگر
$\sin 2\alpha = \sqrt{3}/2، A+B = \pi/(2 \cdot \sqrt{3}/2) = \pi/\sqrt{3} \approx 1.8138$.
پس A+B در کل بازه بزرگتر از
$\pi/\sqrt{3} \approx 1.8138$
است.
---
8. برگشت به نامساوی تانژانتها
$\tan A + \tan B \ge 2\tan\left( \frac{A+B}{2} \right) \ge 2\tan\left( \frac{\pi/(2\sin 2\alpha)}{2} \right) = 2\tan\left( \frac{\pi}{4\sin 2\alpha} \right)$.
حال
$ \sin 2\alpha \le 1، پس \frac{\pi}{4\sin 2\alpha} \ge \frac{\pi}{4}$.
در
$\alpha=\pi/4، \frac{\pi}{4\sin 2\alpha} = \frac{\pi}{4\cdot 1} = \pi/4$،
$2\tan(\pi/4) = 2\cdot 1 = 2 > 1$.
در
$ \alpha=\pi/6، \sin 2\alpha = \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$،
$\frac{\pi}{4\sin 2\alpha} = \frac{\pi}{4\cdot \sqrt{3}/2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.9069.$
$\tan(0.9069) \approx \tan(51.96^\circ) \approx 1.279$,
$2 \times 1.279 \approx 2.558 > 1.$
در
$\alpha=\pi/3$
، مانند
$ \pi/6$ است (مقدار یکسان).
پس حداقل مقدار
$ \tan A + \tan B از 2\tan(\pi/(4\sin 2\alpha)) $
بیشتر است، و آن هم در بدترین حالت حدود 2.558 است که قطعاً از 1 بیشتر است.
---
9. نتیجهگیری
حتی در بدترین حالت،
$\tan A + \tan B \ge 2\tan\left( \frac{\pi}{4\sin 2\alpha} \right) \ge 2\tan\left( \frac{\pi}{4\cdot 1} \right) = 2\tan(\pi/4) = 2 > 1.$
پس نامساوی >1 همواره برقرار است (در دامنه تعریف).
---
$\boxed{1}$
(
البته منظور این است که نامساوی درست است، و با استفاده از نامساوی ینسن برای تابع محدب$ \tan $و کمینهکردن A+B ثابت میشود.)
