با استفادهه نظریۀ اعداد

Question

آیا عدد طبیعی $n>4$ وجود دارد که عبارت،

$(n^2+n-4)(n-4)(n-3)$

مربع کامل باشد؟

دقیق نمیدونم چطور باید حل بشه احتمالا با نظریه‌ ی اعداد هست.

Answer 1

قرار دهید:

$x:=n-4,A_n=(n^2+n-4)(n-4)(n-3)$

$A_n=x(x+1)((x+4)^2+x)=x(x+1)(x^2+9x+16)=(x^2+x)(x^2+9x+16)$

$=x^4+9x^3+16x^2+x^3+9x^2+16x=x^4+10x^3+25x^2+16x=(x^2+5x)^2+16x$

$>(x^2+5x)^2$

از طرفی دیگر:

$(x^2+5x+1)^2=(x^2+5x)^2+2(x^2+5x)+1>A_n \Leftrightarrow (x^2+5x)^2+2(x^2+5x)+1$

$>(x^2+5x)^2+16x \Leftrightarrow 2x^2+10x+1>16x \Leftrightarrow 2x^2+1>6x \Leftrightarrow x>3$

$\Rightarrow if:x>3;(x^2+5x)^2< A_n< (x^2+5x+1)^2$

$\Rightarrow ((n-4)^2+5(n-4))^2< A_n< ((n-4)^2+5(n-4)+1)^2$

بنابراین $A_n$ مربع کامل نیست.

$\Box$