به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
55 بازدید
در دانشگاه توسط Mahbod1466 (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

اگر دو تابع $f$ و $g$ دو تابع اندازه پذیر باشند آنگاه ماکسیمم دو تابع $f$ و $g$ و مینیمم دو تابع $f$ و $f$ هم اندازه پذیر هستند

مرجع: آنالیز حقیقی فولند

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,260 امتیاز)

اگر $a,c \in R$ آنگاه برای توابع اندازه پذیر $f,g:X \longrightarrow [- \infty ,+ \infty ]$ داریم:

$(c-g)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|c-g(x) \geq a$}$ = ${$x \in X|g(x) \leq c- a$}$=g^{-1}((- \infty ,c-a]) $

این نشان می دهد که $c-g$ اندازه پذیر است.همچنین داریم:

$(f+g)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|f(x)+g(x) \geq a$} $=$ {$x \in X|f(x) \geq a-g(x)$}

این استدلال نشان می دهد که $f+g$ اندازه پذیر است.حالا توجه کنید که:

$(f^2)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|f^2(x)) \geq a$} $=f^{-1}([ \sqrt{a} , \sqrt{a} ]) ifa \geq 0, \phi :if:a< 0$

این یعنی $f^2$ اندازه پذیر است.به طور مشابه می توان نشان داد که $f-g$ و $cf$ نیز اندازه پذیرند.حالا توجه کنید که:

$|f|^{-1}((- \infty ,a])= \phi :if a< 0$

$,|f|^{-1}((- \infty ,x])=f^{-1}((- \infty ,a]) \cap f^{-1}([-a, \infty )) if:a \geq 0$

این استدلال به ما میگه که $|f|$ هم اندازه پذیر است.حالا برگردیم به سوال.بنا به استدلالهای بالا توابع زیر نیز اندازه پذیرند:

$f^+= \frac{1}{2} (|f|+f) , f^-=f^+= \frac{1}{2} (|f|-f)$

$Max${$ f,g $ } $=f \vee g= \frac{1}{2} (f+g+|f-g|)$

$,Min${$ f,g $ } $=f \wedge g= \frac{1}{2} (f+g-|f-g|)$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...