اگر $a,c \in R$ آنگاه برای توابع اندازه پذیر $f,g:X \longrightarrow [- \infty ,+ \infty ]$ داریم:
$(c-g)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|c-g(x) \geq a$}$ = ${$x \in X|g(x) \leq c- a$}$=g^{-1}((- \infty ,c-a]) $
این نشان می دهد که $c-g$ اندازه پذیر است.همچنین داریم:
$(f+g)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|f(x)+g(x) \geq a$} $=$ {$x \in X|f(x) \geq a-g(x)$}
این استدلال نشان می دهد که $f+g$ اندازه پذیر است.حالا توجه کنید که:
$(f^2)^{-1}([a, \infty ))= ${$x \in X|f^2(x)) \geq a$} $=f^{-1}([ \sqrt{a} , \sqrt{a} ]) ifa \geq 0, \phi :if:a< 0$
این یعنی $f^2$ اندازه پذیر است.به طور مشابه می توان نشان داد که $f-g$ و $cf$ نیز اندازه پذیرند.حالا توجه کنید که:
$|f|^{-1}((- \infty ,a])= \phi :if a< 0$
$,|f|^{-1}((- \infty ,x])=f^{-1}((- \infty ,a]) \cap f^{-1}([-a, \infty )) if:a \geq 0$
این استدلال به ما میگه که $|f|$ هم اندازه پذیر است.حالا برگردیم به سوال.بنا به استدلالهای بالا توابع زیر نیز اندازه پذیرند:
$f^+= \frac{1}{2} (|f|+f) , f^-=f^+= \frac{1}{2} (|f|-f)$
$Max${$ f,g $ } $=f \vee g= \frac{1}{2} (f+g+|f-g|)$
$,Min${$ f,g $ } $=f \wedge g= \frac{1}{2} (f+g-|f-g|)$
$ \Box $
