ثابت کنید که: $$n!m!|(n+m)!$$

Question

ثابت کنید که اگر $n$ و $m$ طبیعی باشند آنگاه:

$$n!m!|(n+m)!$$

سپس با استقرا نتیجه بگیرید که:

$$n_1!n_2!...n_k!|(n_1+n_2+n_k)!$$

Answer 1

در گروه های جایگشتی یک تکریختی چون $\phi$ داریم که:

$$\phi:S_n×S_m \hookrightarrow S_{n+m}$$

در نتیجه:

$$(|S_n×S_m|) | S_{n+m}$$ $$n!m! | (m+n)!$$

اثبات موضوع نشانده شدن جمع مستقیم ها در گروه جایگشتی را در سوالی دیگر قرار خواهم داد.

Answer 2

آدرین ماری لژاندر با نبوغ سرشار و کوشش بی وقفه اش به ما نشان داد که اگر $n$ عددی طبیعی، $p$ عددی اول باشد و $d(n,p)$ بیشترین توانی از $p$ که در تجزیۀ $n!$ ظاهر می شود، باشند آنگاه داریم:

$d(n,p)=[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2}]+[ \frac{n}{p^3} ]+...$

این سری بعد از چند مرحله با جملات صفر است(؟). از طرفی دیگر میدانیم:

$if:x,y \in R \Rightarrow [x+y] \geq [x]+[y]$

$\Rightarrow d(n+m,p)=[ \frac{n+m}{p} ]+[ \frac{n+m}{p^2} ]+[ \frac{n+m}{p^3} ]+...$

$=[ \frac{n}{p} + \frac{m}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} + \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} + \frac{m}{p^3} ]+...$

$\geq [ \frac{n}{p} ]+[ \frac{m}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+[ \frac{m}{p^3} ]+...$

$=([ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...)+([ \frac{m}{p} ]+[ \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{m}{p^3} ]+...)$

$=d(n,p)+d(m,p)$

حالا اگر دقت شود $d(n,p)+d(m,p)$ بیشترین توان $p$ در تجزیۀ $n!m!$ است.پس اگر صورت و مخرج کسر را به عاملهای اول تجزیه کنیم برای هر عامل توان در صورت از توان در مخرج برای همان عامل کمتر نیست.این یعنی صورت بر مخرج قابل قسمت است.

قسمت دوم با استفاده از اصل استقراء ریاضی اثبات می شود.

$\Box$

Comments

روش زیبایی بود، ممنون از حل زیبا و دقیقتان

Answer 3

این حل در راستای یادگیری دانش آموزان دبیرستانی است:

باتوجه به اینکه $\binom{m+n}{n}= \frac{(n+m)!}{n!m!}$ مقداری طبیعی است پس:

$$n!m!|(n+m)!$$

Comments

این راه حل با استقرا ثابت میشه.

---

با سلام ، بله درست می فرمایید
اما هدف از این حل جذب دانش آموزان دبیرستانی است برای درک موضوع مطرح شده.

---

بله.متاسفانه استقرا از ریاضی دبیرستان رخت بربسته همچنان که انتگرال نیز چنین شد.هر روز کتابهای دبیرستان تهی تر میشه.