به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
88 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Dana_Sotoudeh (2,281 امتیاز)

ثابت کنید که اگر $n$ و $m$ طبیعی باشند آنگاه:

$$ n!m!|(n+m)! $$

سپس با استقرا نتیجه بگیرید که:

$$ n_1!n_2!...n_k!|(n_1+n_2+n_k)! $$

3 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Dana_Sotoudeh (2,281 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

در گروه های جایگشتی یک تکریختی چون $ \phi $ داریم که:

$$ \phi:S_n×S_m \hookrightarrow S_{n+m} $$

در نتیجه:

$$ (|S_n×S_m|) | S_{n+m} $$ $$ n!m! | (m+n)! $$

اثبات موضوع نشانده شدن جمع مستقیم ها در گروه جایگشتی را در سوالی دیگر قرار خواهم داد.

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,260 امتیاز)

آدرین ماری لژاندر با نبوغ سرشار و کوشش بی وقفه اش به ما نشان داد که اگر $n$ عددی طبیعی، $p$ عددی اول باشد و $d(n,p)$ بیشترین توانی از $p$ که در تجزیۀ $n!$ ظاهر می شود، باشند آنگاه داریم:

$d(n,p)=[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2}]+[ \frac{n}{p^3} ]+...$

این سری بعد از چند مرحله با جملات صفر است(؟). از طرفی دیگر میدانیم:

$if:x,y \in R \Rightarrow [x+y] \geq [x]+[y]$

$ \Rightarrow d(n+m,p)=[ \frac{n+m}{p} ]+[ \frac{n+m}{p^2} ]+[ \frac{n+m}{p^3} ]+...$

$=[ \frac{n}{p} + \frac{m}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} + \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} + \frac{m}{p^3} ]+...$

$ \geq [ \frac{n}{p} ]+[ \frac{m}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+[ \frac{m}{p^3} ]+...$

$=([ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...)+([ \frac{m}{p} ]+[ \frac{m}{p^2} ]+[ \frac{m}{p^3} ]+...)$

$=d(n,p)+d(m,p)$

حالا اگر دقت شود $d(n,p)+d(m,p)$ بیشترین توان $p$ در تجزیۀ $n!m!$ است.پس اگر صورت و مخرج کسر را به عاملهای اول تجزیه کنیم برای هر عامل توان در صورت از توان در مخرج برای همان عامل کمتر نیست.این یعنی صورت بر مخرج قابل قسمت است.

قسمت دوم با استفاده از اصل استقراء ریاضی اثبات می شود.

$ \Box $

توسط Dana_Sotoudeh (2,281 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh
+1
روش زیبایی بود، ممنون از حل زیبا و دقیقتان
+1 امتیاز
توسط Dana_Sotoudeh (2,281 امتیاز)

این حل در راستای یادگیری دانش آموزان دبیرستانی است:

باتوجه به اینکه $ \binom{m+n}{n}= \frac{(n+m)!}{n!m!} $ مقداری طبیعی است پس:

$$ n!m!|(n+m)! $$

توسط قاسم شبرنگ (3,260 امتیاز)
این راه حل با استقرا ثابت میشه.
توسط Dana_Sotoudeh (2,281 امتیاز)
با سلام ، بله درست می فرمایید
اما هدف از این حل جذب دانش آموزان دبیرستانی است برای درک موضوع مطرح شده.
توسط قاسم شبرنگ (3,260 امتیاز)
بله.متاسفانه استقرا از ریاضی دبیرستان رخت بربسته همچنان که انتگرال نیز چنین شد.هر روز کتابهای دبیرستان تهی تر میشه.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...