اگر $ g \in G $ آنگاه $ St_G(x)^g=St_G(xg) $.

Question

فرض کنیم $G$ بر مجموعه $X$ عمل کند و $ x \in X $. ثابت کنید اگر $ g \in G $ آنگاه $ St_G(x)^g=St_G(xg) $.

حال اگر عمل ترایا باشد، آنگاه به ازای هر $x,y$ از $X$ ، $ St_G(x) , St_G(y) $ در $G$ مزدوج اند.

Comments

تعریف عمل ترایا چیست؟

---

سلام
عملی ترایا یا انتقالی یا transitive گویند هرگاه فقط یک مدار داشته باشد.

---

یادم اومد.سپاس.

Answer 1

$a \in St_G(x)^g \Rightarrow a=g^{-1}bg,b \in St_G(x)[ \Leftrightarrow xb=x]$

$ \Rightarrow (xg)a=x(ga)=x(bg)=(gb)g=xg \Rightarrow a \in St_G(xg) \Rightarrow St_G(x)^g \subseteq St_G(xg) (1)$

از طرفی دیگر:

$a \in St_G(xg) \Rightarrow (xg)a=xg \Rightarrow (xg)ag^{-1}=x \Rightarrow x(gag^{-1})=x \Rightarrow gag^{-1} \in St_G(x)$

$ \Rightarrow (g^{-1})^{-1}ag^{-1}\in St_G(x) \Rightarrow a \in St_G(x)^{g^{-1}}=St_G(x)^g \Rightarrow St_G(xg) \subseteq St_G(x)^g(2)$

$(1),(2) \Rightarrow St_G(xg)=St_G(x)^g$

$ \Box $

تعریف عمل ترایا را متوجه نشدم.

Comments

چون توضیحات اثبات شما کاملتر از برهان بنده بود، اثبات شما رو تیک سبز زدم

Answer 2

می‌خواهیم ثابت کنیم:

$G / X \Rightarrow st_G(x)^g = st_G(x^g)$

برهان

$st_G(x^g) = \{ a \in G \mid (x^g)^a = x^g \} = \{ a \in G \mid x^{g a g^{-1}} = x \}= \{ a \in G \mid g a g^{-1} \in G_x \} = g G_x g^{-1}= \{ a^g \in G \mid x^{a^g} = x \} = \{ a \in G \mid a^{g} \} =st_G(x)^g$