۱۹۶۳ رقم بعد از ممیز را در بیان دهدهی این عدد پیدا کنید: $(\sqrt{26}+5)^{1963}$

Question

1963 رقم بعد از ممیز را در بیان دهدهی این عدد پیدا کنید:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963}$$

ویرایشگر: پرسشگر به تلاش خود اشاره ای نکرده است.

Answer 1

از ما خواسته شده است که رقم 1963 ام بعد از ممیز را در بسط اعشاری $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ پیدا کنیم.

ابتدا مزدوج این عدد، یعنی $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ را در نظر می‌گیریم.

با استفاده از قضیه دو جمله‌ای، می‌توانیم $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ و $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ را بسط دهیم:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k 5^{1963-k}$$

$$(\sqrt{26}-5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k (-5)^{1963-k}$$

حال اگر این دو عبارت را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k (5^{1963-k} + (-5)^{1963-k})$$

توجه کنید که وقتی $k$ فرد است، $5^{1963-k} + (-5)^{1963-k} = 0$. وقتی $k$ زوج است، $5^{1963-k} + (-5)^{1963-k} = 2 \cdot 5^{1963-k}$. بنابراین، مجموع به صورت زیر ساده می‌شود:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963} = 2 \sum_{k=0, k \text{ زوج}}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k 5^{1963-k}$$

از آنجایی که $k$ زوج است، فرض کنید $k = 2j$. آنگاه $(\sqrt{26})^k = (\sqrt{26})^{2j} = 26^j$ که یک عدد صحیح است. بنابراین، کل عبارت یک عدد صحیح است. بیایید این عدد صحیح را $N$ بنامیم:

$$N = (\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963}$$

حال توجه کنید که $0 < \sqrt{26}-5 < 1$. به طور خاص، $\sqrt{26} \approx 5.099$، بنابراین $\sqrt{26} - 5 \approx 0.099$. در نتیجه، $0 < (\sqrt{26}-5)^{1963} < 1$. در واقع، $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ یک عدد بسیار کوچک است.

می‌توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963} = N - (\sqrt{26}-5)^{1963}$$

فرض کنید $x = (\sqrt{26}+5)^{1963}$ و $\epsilon = (\sqrt{26}-5)^{1963}$. آنگاه $x = N - \epsilon$، که در آن $N$ یک عدد صحیح و $0 < \epsilon < 1$ است.

قسمت اعشاری $x$ برابر با $1 - \epsilon$ است. از آنجایی که $\epsilon$ بسیار کوچک است، $1-\epsilon$ عددی کمی کوچکتر از 1 خواهد بود، به این معنی که بسط اعشاری آن با یک رشته طولانی از 9 ها شروع می‌شود.

از آنجایی که $\sqrt{26} - 5 \approx 0.099 < 0.1$، داریم $(\sqrt{26} - 5)^{1963} < (0.1)^{1963} = 10^{-1963}$. این بدان معناست که $\epsilon$ حداقل 1963 صفر بعد از ممیز دارد.

بنابراین، $1 - \epsilon$ حداقل 1963 عدد 9 بعد از ممیز خواهد داشت.

بنابراین، رقم 1963 ام بعد از ممیز در $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ برابر با $\boxed{9}$ است.

Comments

@ریاضی‌دان پاسخ شما همان پاسخ آقای @Elyas1 است که چند خطی را که به عهدهٔ خود پرسش‌گر و خواننده واگذاشته‌اند را پر کرده‌اید که سود خاصی ندارد! اگر پرسش‌گر برای پرسشش زمان می‌گذاشت و پاسخ پیشین را می‌خواند، دو حالت می‌داشت. ۱- جاهای خالی را خودش می‌توانست پر کند که در آن صورت می‌بایست آن پاسخ را برمی‌گزید نه پاسخ تکراری شما را. ۲- جاهای خالی را نمی‌توانستند پر کنند، لذا باید در زیر پاسخ پیشین دیدگاه می‌گذاشتند و می‌پرسیدند. اگر حالت ۱ رخ نداده و حالت ۲ بوده و دیدگاه نگذاشته‌اند و نپرسیدند یعنی یا نخوانده‌اند، یا وقت نگذاشته‌اند یا دنبال پاسخ کامل برای کپی-پیست بوده‌اند. پاسخ شما را نشانه‌گذاری برای حذف کردم. لطفا به جای پاسخ تکراری، اگر ایدهٔ متفاوتی دارید، پاسخ جدید بگذارید.

Answer 2

ابتدا اینکه با استفاده از بسط دو جمله ای می توان نشان داد $(\sqrt{26}+5) ^{1963}+(\sqrt{26}-5)^{1963}$ عددی طبیعی است. پس آن را $A$ بنامید. اکنون به جای یافتن‌ 1963 امین رقم بعد اعشار $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ به دنبال همین جایگاه در$(\sqrt{26}-5)^{1963}$ می رویم. داریم:

$(\sqrt{26}+5) (\sqrt{26}-5)=(26-25)=1 \Longrightarrow \sqrt{26}-5=\frac{1}{\sqrt{26}+5}< \frac{1}{10} \Longrightarrow (\sqrt{26}-5)^{1963}< \frac{1}{10^{1963}}$

لذا در این جایگاه عدد قرار گرفته $0$ می باشد. از آن جایی که $(\sqrt{26}+5)^{1963}=A-(\sqrt{26}-5)^{1963}$

به راحتی می توان نتیجه گرفت که عدد مورد نظر $9$ است.