۱۹۶۳ رقم بعد از ممیز را در بیان دهدهی این عدد پیدا کنید: ۱۹۶۳^(۵+½(۲۶))

Question

1963 رقم بعد از ممیز را در بیان دهدهی این عدد پیدا کنید:

$$(\sqrt{26}+5)^{1963}$$

ویرایشگر: پرسشگر به تلاش خود اشاره ای نکرده است.

Answer 1

ابتدا اینکه با استفاده از بسط دو جمله ای می توان نشان داد $(\sqrt{26}+5) ^{1963}+(\sqrt{26}-5)^{1963}$ عددی طبیعی است. پس آن را $A$ بنامید. اکنون به جای یافتن‌ 1963 امین رقم بعد اعشار $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ به دنبال همین جایگاه در$(\sqrt{26}-5)^{1963}$ می رویم. داریم:

$(\sqrt{26}+5) (\sqrt{26}-5)=(26-25)=1 \Longrightarrow \sqrt{26}-5=\frac{1}{\sqrt{26}+5}< \frac{1}{10} \Longrightarrow (\sqrt{26}-5)^{1963}< \frac{1}{10^{1963}}$

لذا در این جایگاه عدد قرار گرفته $0$ می باشد. از آن جایی که $ (\sqrt{26}+5)^{1963}=A-(\sqrt{26}-5)^{1963}$

به راحتی می توان نتیجه گرفت که عدد مورد نظر $9$ است.