موقعیت مکانی نقطهای درون مثلث که حاصلضرب فواصل آن از اضلاع بیشترین مقدار باشد.

Question

نقطه‌ی متغیر $M$ داخل مثلث ثابت $ABC$ واقع است. اگر از $M$ سه عمود $ MH_{1} $ و $ MH_{2} $ و $ MH_{3} $ را بر سه ضلع مثلث رسم کنیم و $ MH_{1} \times MH_{2} \times MH_{3} $ ماکزیمم مقدار ممکن باشد، نقطه‌ی $M$ کجای مثلث $ABC$ واقع شده است؟

---

1. محل همرسی نیمسازها
2. محل همرسی ارتفاعات
3. محل هندسی میانه‌ها
4. محل همرسی عمود منصف ها

---

خودم فکر میکنم با توجه به اینکه اشاره نشده مثلث از چه نوع است و قید شده که M درون مثلث است نمیتوان گزینه های ۲ و ۴ را انتخاب کرد و حدس میزنم گزینه ی ۱ یعنی محل همرسی نیمسازها جواب درست باشد اما روشی برای اثبات آن به ذهنم نرسید.

Answer 1

مثلثی با شرایط مساله و مساحت $s$ در نظر بگیرید.حالا توجه شود که مجموع مساحت‌های سه مثلث $MBC$ و $MCA$ و $MAB$ با مساحت مثلث $ABC$ برابر است:

$ \frac{1}{2} a.MH+ \frac{1}{2} b.MH'+ \frac{1}{2} c.MH''=s$

$\Rightarrow aMH+bMH'+cMH''=2s$

حالا نامساوی میامگین هندسی حسابی را به کار ببرید:

$MH.MH'.MH''= \frac{1}{abc} (aMH.bMH'.cMH'') \leq \frac{1}{abc} ( \frac{aMH+bMH'+cMH'')}{3} )^3= \frac{1}{abc} ( \frac{2s}{3} )^3$

مجموع سه متغیر ثابت است.پس اینجا تساوی (ماکسیمم) زماتی افاق می افتد که:

$aMH=bMH'=cMH''$

$ \longrightarrow max(aMH.bMH'.cMH'')= \frac{8s^3}{27} \longrightarrow max(MH.MH'MH'')= \frac{8s^3}{27abc} $

از تساوی اول داریم:

$aMH=bMH' \Rightarrow \frac{1}{2} aMH= \frac{1}{2} bMH'$

یعنی مساحت دو مثلت $MBC$ و $MCA$ با هم برابرند.از طرفی این دو مثلث در ضلع $MC$ مشترک اند که اگر این ضلع مشترک را قاعده بگیریم و از $B$ و $A$ دو تا عمود بر آن یا امتدادش رسم کنیم این عمودها برابرند (؟) و بنا به خاصیت مثلث های همنهشت $CM$ از وسط $AB$ می گذرد.به عبارتی دیگر $M$ روی میانه وارد بر $AB$ قرار دارد.

اگر این استدلال را مشابهن برای مثلثهای دیگر تکرار کنیم متوجه می شویم که $M$ روی میانه های وارد بر $AC$ و $BC$ نیز قرار دارد لذا $M$ روی نقطۀ همرس سه میانه قرار دارد.

$ \Box$

Comments

درود
در صورتی میشه از نامساوی حسابی و هندسی استفاده کرد که بدونیم مجموع اعداد، ثابته
در صورتی که اینجا مجموع حاصلضرب اعداد در اضلاع ثابته.

---

سلام.
کاملن حق با شماست.اصلاح شد.

---

سلامت باشید.