مثلثی با شرایط مساله و مساحت $s$ در نظر بگیرید.حالا توجه شود که مجموع مساحتهای سه مثلث $MBC$ و $MCA$ و $MAB$ با مساحت مثلث $ABC$ برابر است:
$ \frac{1}{2} a.MH+ \frac{1}{2} b.MH'+ \frac{1}{2} c.MH''=s$
$\Rightarrow aMH+bMH'+cMH''=2s$
حالا نامساوی میامگین هندسی حسابی را به کار ببرید:
$MH.MH'.MH''= \frac{1}{abc} (aMH.bMH'.cMH'') \leq \frac{1}{abc} ( \frac{aMH+bMH'+cMH'')}{3} )^3= \frac{1}{abc} ( \frac{2s}{3} )^3$
مجموع سه متغیر ثابت است.پس اینجا تساوی (ماکسیمم) زماتی افاق می افتد که:
$aMH=bMH'=cMH''$
$ \longrightarrow max(aMH.bMH'.cMH'')= \frac{8s^3}{27} \longrightarrow max(MH.MH'MH'')= \frac{8s^3}{27abc} $
از تساوی اول داریم:
$aMH=bMH' \Rightarrow \frac{1}{2} aMH= \frac{1}{2} bMH'$
یعنی مساحت دو مثلت $MBC$ و $MCA$ با هم برابرند.از طرفی این دو مثلث در ضلع $MC$ مشترک اند که اگر این ضلع مشترک را قاعده بگیریم و از $B$ و $A$ دو تا عمود بر آن یا امتدادش رسم کنیم این عمودها برابرند (؟) و بنا به خاصیت مثلث های همنهشت $CM$ از وسط $AB$ می گذرد.به عبارتی دیگر $M$ روی میانه وارد بر $AB$ قرار دارد.
اگر این استدلال را مشابهن برای مثلثهای دیگر تکرار کنیم متوجه می شویم که $M$ روی میانه های وارد بر $AC$ و $BC$ نیز قرار دارد لذا $M$ روی نقطۀ همرس سه میانه قرار دارد.
$ \Box$
