معادله $47(a+b)-ab=109$ جوابی در مجموعه اعداد طبیعی دارد؟ اگر آری چند دسته جواب دارد؟

Question

با درود به همراهان گرامی. معادله $47(a+b)-ab=109$ جوابی در مجموعه اعداد طبیعی دارد؟ اگر آری چند دسته جواب دارد؟ طرح سؤال از جانب بنده است. نمونه مرتب جواب عبارت است از $a,b=(48,2147)$ .

Answer 1

$$47(a+b)-ab=109 \Rightarrow ab-47a-47b=-109$$

$$ \Rightarrow ab-47a-47b+47^2=47^2-109$$

$$ \Rightarrow (47-a)(47-b)=2209-109=2100=2^2.3.5^2.7$$

حالا فرض کنید که $a<b(?)$ و جوابها را در صورت وجود بیابید.

$ \Box $

Comments

@قاسم شبرنگ : با درود و سپاس از توجه استاد گرامی. روشی هست که بدون ارائه جوابها، فقط تعداد جوابها رو بدون جابجایی $a,b$ بدست بیاره؟ همانطور که مشاهده میشود، جابجایی $a,b$ تأثیری بر نتیجه نداره. بدنبال چنین جوابی هستم.

---

@قاسم شبرنگ : بادرود مجدد به استاد عزیز. روش کارتان کاملاً درسته. برای تعداد شمارنده های $2100$ باید به توانهای تجزیه یک واحد اضافه کنیم و سپس آنها را به هم ضرب کنیم. بنابراین تعداد شمارنده‌ها میشه:
$3×2×3×2=36$
چون این تعداد به حاصلضرب دو پرانتز تبدیل شده، بنابراین $18$ دسته جواب داریم. بسیار عالی بود.

---

معادله جواب ندارد.چون باید توجه شود که $47-a,47-b>0$.

---

بنظرم اگر پرانتزها هردو منفی باشند، معادله جواب خواهد داشت. روش خودم را با تمام جوابها سر فرصت ارائه میدم. ولی جوابتان کاملاً درسته.

---

شما گفتید که جواب طبیعی.اگر جواب صحیح مد نظر باشد.تعدا جوابه میشه تعداد مقسوم علیه های $2100$.

---

دقیقاً درسته. تعداد مقسوم علیه‌ها(شمارنده‌ها) $36$ تاست ولی چون به حاصلضرب دو پرانتز تبدیل کردید، بر دو تقسیم میشه که $18$ تا بدون جابجایی $a,b$ میشه.

---

استاد عزیز حتماً توجه دارند که پرانتزها ممکنه منفی باشند ولی $a,b$ میتونن مثبت باشند.

---

سلام.
من فقط راه حل را ارائه دادم.جوابها را ارائه نکردم.

---

با درود مجدد. تصادفاً راه حل شما سرراست‌تره. چون به حاصلضرب ساده‌تری تبدیل شده. از توجه‌تون سپاسگزارم.1+

---

@قاسم شبرنگ : با درود مجدد. درواقع اگر حاصلضرب دو تفاضل منفی عددی مثبت شود، میتوان یا از قدر مطلق آنها استفاده کرد یا برعکس متغیرها رابکار برد. یعنی:

$(a-47)(b-47)=2100$

به این ترتیب یکی از پرانتزها را مساوی یکی از مقسوم علیه‌ها قرار میدیم و آن یکی را مساوی خارج قسمت و براحتی $a,b$ بدست میاد. از همراهی خوبتون سپاسگزارم.

Answer 2

با درود بر همه همراهان گرامی. یکی از روشهای مؤثر در حل معادلات دیوفانتی، ساده سازی و استفاده از مجهول کمکی است. $$1)\quad47(a+b)-ab=109$$ $$2)\quad \Longrightarrow a=47+ \frac{2100}{b-47} $$ $$3)\quad c(b-47)=2100$$ $$4)\quad \Longrightarrow b=47+ \frac{2100}{c}$$ بنابراین $c$ میتواند تمام مقسوم‌علیه‌ها(شمارنده‌های) $2100$ را اختیار کند. اگر تجزیه عوامل اول عددی را بشکل زیر داشته باشیم،

$$N=p_1^ \alpha ×p_2^ \beta ×...×p_n^ \gamma $$

آنگاه تعداد مقسوم‌علیه‌ها(شمارنده‌ها) بشکل زیر بدست می‌آید. $$ \sigma(N)= ( \alpha +1)×( \beta +1)×...×( \gamma +1)$$ بنابراین برای $2100=2^2×3^1×5^2×7^1$ داریم $$\sigma(2100)= 3×2×3×2=36$$ چون میخواهیم تعداد جوابها بدون جابجایی $a,b$ باشد، $18$ جواب خواهیم داشت که بشرح زیر است.

$c,a,b=(1,48,2147),(2,49,1097),(3,50,747),(4,51,572),(5,52,467),(6,53,397),(7,54,347),(10,57,257),(12,59,222),(14,61,197),(15,62,187),(20,67,152),(21,68,147),(25,72,131),(28,75,122),(30,77,117),(35,82,107),(42,89,97)$