علت ظاهر شدن ریشه خارجی در برخی معادلات گنگ

Question

معادله‌ی گنگ زیر را در نظر بگیرید: $$ \begin{align} \sqrt{x+1}=x-1 \end{align} $$ شرایط با معنی بودن معادله را بررسی میکنیم:

۱) $ x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \Rightarrow x \in [-1,+ \infty ) $

2) $ 0 \leq \sqrt{x+1} =x-1 \Rightarrow x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \Rightarrow x \in [1, + \infty ) $

(1) $ \cap $ (2) $ = [1, + \infty ) $

اکنون برای حل معادله دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم و به معادله‌ی درجه دوم زیر می‌رسیم:

. $ x^{2} - 3x = 0 \Rightarrow x=0 \vee x=3 $

حالا $ x=3 \in [1,+ \infty ) $ در معادله صدق می‌کند، پس ریشه‌ی معادله است. اما داریم:$ x=0 ∉ [1,+ \infty ) $ ، پس به ازای این مقدار معادله بی معنی می‌شود و نمی‌تواند ریشه‌ی معادله باشد. از طرف دیگر در معادله هم صدق نمی‌کند، پس ریشه‌ی خارجی معادله است.

• سوال من این است که $ x=0 $ (به طور کلی ریشه‌ی خارجی معادله) از کجا پیدا می‌شود؟(علت ظهور ریشه‌ی خارجی چیست؟)

Answer 1

علت وجود ریشه‌های خارجی ( البته به قول شما ) برمیگرده به میدانی که داری معادله را در آن حل می‌کنید.حلی که شما اینجا ارائه داده اید در واقع میدان را اعداد حقیقی گرفته اید.حالا اگر شما میدان را $Z_2$ بگیرید (کمی احتیاط کنید که تعریف جذر چیه؟) آنگاه دو جواب دارید (چرا؟).و اگر مثلن میدان را اعداد مختلط بگیرید داریم:

$$a:= \sqrt{x+1} \Longrightarrow a=a^2-2 \Longrightarrow a^2-a-2=0 $$

$$ \Longrightarrow (a+1)(a-2)=0 \Longrightarrow a=-1 \vee a=2$$

$$ \Longrightarrow \sqrt{x+1}=-1 \vee \sqrt{x+1}=2$$

$$ \Longrightarrow x=0 \vee x=3$$

(گزاره ها برگشت پذیرند) پس دو جواب داریم.

$ \Box $