اثبات انتگرال معین زیر: $ \int _0^ { \frac{7}{2} } \sqrt{x+ \frac{1}{ \sqrt{x+ \sqrt{ \frac{۱}{ \sqrt{x+...} } } } } } dx= \frac{14}{3}+ln2$

Question

مطلوب است اثبات انتگرال معین زیر: $ \int _0^ { \frac{7}{2} } \sqrt{x+ \frac{1}{ \sqrt{x+ \sqrt{ \frac{۱}{ \sqrt{x+...} } } } } } dx= \frac{14}{3}+ln2 $

Answer 1

روش تغییر متغییر $$t=\sqrt{x+ \frac{1}{ \sqrt{x+ \sqrt{ \frac{۱}{ \sqrt{x+...} } } } } } $$ داریم $$t^2 =x+ \frac{1} { t} \qquad t>0$$ برای x مساوی صفر مقدار t برابر یک می باشه و برای x مساوی سه ونیم مقدار مثبت t از معادله درجه دوم 2 بدست می آید. $$dx=2tdt+\frac{1}{t^2} dt$$ $$\int_1^2{(2t^2 +\frac{1}{t})dt } =( \frac{2}{3} t^3+lnt|_1^2 = \frac{14}{3} + ln2 $$

Comments

شما چطور تابع t رو به دست آوردید؟

---

طرفین تغییر متغییر بتوان 2 برسان حاصل مخرج کسر بعلت نامحدود بودن روند همان t است.

---

بله متوجه شدم. خواستم دیدگاه رو حذف کنم نشد.