Question

بزرگترین عدد x به طوری که عبارت زیر مربع کامل باشد کدام است؟ $ 4^{x} + 4^{604} + 4^{1000} $ الف)1393 ب)۱۳۹۴ پ)۱۳۹۵ ت)۱۳۹۶ ث)۱۳۹۷

Answer 1

فرض میکنیم $x>1000$ باشد؛ در این صورت داریم:

$4^{x}+4^{1000}+4^{604}=4^{604}(1+4^{396}+4^{x-604})$

از آنجایی که $4^{604}$ مربع کامل است؛ باید عبارت $4^{396}+4^{x-604}+1$ نیز مربع کامل باشد. حال داریم:

$4^{396}+4^{x-604}+1=m^{2} \Longrightarrow 4^{396}(1+4^{x-1000})=(m-1)(m+1)$

از آنجایی که زوجیت یکسانی برای $m-1$ و $m+1$ می‌توان در نظر داشت فرض می‌کنیم که $m-1=2q$ باشد؛ پس داریم:

$4^{396}(1+4^{x-1000})=2q(2q+2) \Longrightarrow 4^{395}(4^{x-1000}+1)=q(q+1)$

حال چون از بین $q,q+1$ تنها یک عدد زوج است؛ حالت های زیر پیش می آید:

1.

$q=4^{395}k \Rightarrow 4^{x-1000}+1=4^{395}k+1,k\text{ has to be an odd number} \Rightarrow k=1,x =1395$

2.

$q+1=4^{395}k,k\text{ has to be an odd number} \Rightarrow q=4^{395}k-1=4^{x-1000}+1 \Rightarrow 4^{395}k=4^{x-1000}+2$

که حالت دوم غیر ممکن است زیرا در طرف راست تساوی عددی وجود دارد که به پیمانه ۴ همنهشت با ۲ است و در طرف دیگر عددی بخش پذیر بر ۴.

Comments

آیا نظرتون اینه که فقط به ازای یک مقدار x  مربع کامل است؟؟

---

خیر، یک جواب دیگه هم احتمال دادم داشته باشه ولی چون سوال بزرگترین رو خواسته بود، فرض کردم که x>1000 باشد تا نوشتن معادلات ساده تر باشه.

---

کاملا درسته فقط خواستم اشاره کنم به ازای دو مقدار x مربع کامل است.

Answer 2

از این نکته استفاده می کنیم:

اگر مجموع سه مربع کامل، مربع کامل باشند، حتماً به صورت مربع، مجموع دو توانی از 2 می توان نوشت. $$A=4^x+4^{604}+4^{1000}=(2^x)^2 +(2^{604})^2 +(2^{1000}) ^2 =2^{2x}+2^{1208}+2^{2000} $$ $$A=(2^a+2^b)^2 =2^{2a}+2^{2b}+2^{a+b+1}\quad a\leq b $$ بنابراین دو مجموعه زیر باید برابر باشند $$\{1208,2000،2x\},\quad \{2a,a+b+1, 2b\} $$ حالتهای مختلف در نظر بگیرید اما عضوها را صعودی مرتب کردم که راحتر به جواب برسیم.

$$x=b,a=604\rightarrow a+b+1=2000\rightarrow x=1395 $$

(دقت کنید که جواب دیگه برای x عدد 207 می باشه که چون دنبال بزرگترین بودیم دیگه اون محاسبه نکردم)

Comments

این روش شما رو متوجه نشدم. از کجا میدونیم که حتما عبارت های داخل مربع به صورت توانی از ۲ هستن؟

---

این نکته برای پایه 2 همواره صحیح است بعنوان لم می توان نوشت:
اگر جمع سه مربع کامل از توان‌های ۲، مربع کامل باشد، آنگاه ریشهٔ آن مربع باید خود جمع دو توان از ۲ باشد

---

ممنونم
پس یک لم بوده