Question

ثابت کنید برای هر عدد صحيح $$n > 1$$

عدد

$ n^{4}+ 4^{n} $

عدد ترکیبی (غیراول است).

از اتحاد

$ a^{4} + 4b^{4}=( a^{2} +2ab+2 b^{2} )( a^{2} -2ab+2 b^{2} ) $

استفاده کنید.

Answer 1

اگر $n$ عددی زوج باشد، مطمئنا عبارت خواسته شده عددی زوج است و بر ۲ بخش پذیر است. پس کافی تا مسئله را در حالتی که $n$ عددی فرد هست حل کنیم. در نظر می گیریم:

$n = 2k+1$

داریم:

$n^{4} + 4^{n} = n^{4}+4^{2k+1}=n^{4}+4×4^{2k}$

که اگر دقت کنیم؛ در خواهیم یافت که

$4^{2k}=2^{4k}$

و باقی مسئله با توجه به اتحاد گفته شده اثبات خواهد شد.

لازم به ذکر است این مسئله اولین بار تحت عنوان دیگری برای اویلر فرستاده شده بود و او نیز با همان اتحاد بالا مسئله را حل کرد‌.

روزی ریاضیدانی (که متاسفانه نام اون رو در یاد ندارم!) در نامه به اویلر چنین گفت:

ثابت کنید حاصل $1+4n^{4}$ به ازای تمامی $n$ های بزرگتر از ۱ عددی مرکب هست.