Question

معادله سیاله زیر را حل کنید:

$ x^{2} -92 y^{2} =1$

یک معادله سیاله دیوفانتی از نوع پل با پارامتر 92

$92=4×23$

$z=2y$

Answer 1

حل معادله دیوفانتی نوع پِل با پارامتر ۹۲

می‌خواهیم معادله زیر را در اعداد صحیح حل کنیم: $ x^2 - 92y^2 = 1. $

---

کاهش به معادله پِل با

$D=23$

چون

$92 = 4 \cdot 23 $ با قرار دادن

$z = 2y$ داریم: $ x^2 - 23 z^2 = 1. $ این همان معادله پِل استاندارد با

$D=23$ است. اگر

$(x,z) $

جوابی برای

$x^2 - 23z^2 = 1$

باشد که در آن

$z $ زوج باشد، آنگاه با

$y = z/2$ یک جواب برای معادله اصلی

$x^2 - 92y^2 = 1$

به‌دست می‌آید.

---

جواب بنیادی برای

$x^2 - 23z^2 = 1$

جواب بنیادیِ پِل برای

$D=23$

برابر است با: $ x1 = 24,\quad z1 = 5, $ زیرا $ 24^2 - 23 \cdot 5^2 = 576 - 575 = 1. $ تمام جواب‌های

$x^2 - 23z^2 = 1$

از توان‌های $ (24 + 5\sqrt{23})^n $ به‌دست می‌آیند. برای اینکه

$z$

زوج شود، کوچک‌ترین

$n$

که این شرط را برقرار می‌کند

$n=2$

است.

محاسبه می‌کنیم: $ (24 + 5\sqrt{23})^2 = 1151 + 240\sqrt{23}. $ پس

$(x,z) = (1151,\,240) $

و چون

$z$

زوج است، با

$y = z/2 = 120$ می‌گیریم: $ (x,y) = (1151,\,120), $ و واقعاً $ 1151^2 - 92 \cdot 120^2 = 1. $ این یک جواب بنیادیِ معادله

$x^2 - 92y^2 = 1$ است.

---

تمام جواب‌ها

تمام جواب‌های صحیح با استفاده از واحد بنیادی به‌صورت زیر تولید می‌شوند: $ x_{n} + y_{n} \sqrt{92} = (1151 + 120\sqrt{92})^n,\quad n=0,1,2,\dots $ که در آن

$( x_{0} , y_{0} ) = (1,0) $

و برای تولید بازگشتی: $ \begin{aligned} x{n+1} &= 1151\,xn + 120\cdot 92\,yn \;=\; 1151\,xn + 11040\,y_n,\\ y{n+1} &= 120\,xn + 1151\,y_n. \end{aligned} $ همهٔ جفت‌های

$(\pm xn, \pm yn)$

نیز جواب‌اند.

---

نمونهٔ نخستین جواب‌ها

$n=0:\; (x,y)=(1,0)$ $n=1:\; (x,y)=(1151,120)$ $(n=2:\; (x,y)=(1151^2 + 11040\cdot120,120\cdot1151 + 1151\cdot120$

که اعداد بزرگی‌اند و مطابق رابطهٔ بازگشتی محاسبه می‌شوند.

این مجموعه همهٔ جواب‌های صحیحِ معادله

$x^2 - 92y^2 = 1 $

را پوشش می‌دهد.

Answer 2

می‌خواهیم معادلهٔ $x^2-92y^2=1$ را حل کنیم. چون $92=4\times23$، می‌گذاریم $z=2y$ تا برسیم به $x^2-23z^2=1$.

این همان معادلهٔ پِل با $D=23$ است. کوچک‌ترین جواب آن $(x,z)=(24,5)$ است چون $24^2-23\cdot5^2=1$. در نتیجه همهٔ جواب‌های آن از رابطهٔ $x+z\sqrt{23}=(24+5\sqrt{23})^n$ به‌دست می‌آید.

برای بازگشت به متغیر $y$ باید $z$ زوج باشد تا بتوانیم $z=2y$ بنویسیم؛ این دقیقاً وقتی رخ می‌دهد که $n$ زوج باشد. با $n=2$ داریم $(24+5\sqrt{23})^2=1151+240\sqrt{23}$، پس $z=240$ و بنابراین $y=120$ و $x=1151$. بررسی می‌کنیم: $1151^2-92\cdot120^2=1$.

پس کوچک‌ترین جواب مثبت برابر $(1151,120)$ است و همهٔ جواب‌ها با $y\ge0$ از $x+y\sqrt{92}=(1151+120\sqrt{92})^n$ برای $n=0,1,2,\dots$ به‌دست می‌آید. اگر علامت‌ها را هم در نظر بگیریم، تمام جواب‌های صحیح از $x+y\sqrt{92}=\pm(1151+120\sqrt{92})^n$ (برای هر $n\in\mathbb{Z}$) به‌دست می‌آید.