Question

در سری زیر دو رقم آخر را بیابید به طوری که داشته باشیم:

$T= \sum _ {k=0} ^ {99} (n+k)^{8} $

به طوری که n عدد صحیح باشد.

Comments

ایده برای حل: چون k مقداری از صفر تا ۹۹ دارد، مهم نیست n چه عددی باشد، در نهایت این ۱۰۰ عدد، ۱۰۰ عدد مختلف هستند که هر کدام باقی مانده مشخصی به ۱۰۰ دارن. پس جواب برابر هست با باقی مانده توان ۸ام همه اعضای مجموعه دستگاه مانده ها به پیمانه ۱۰۰

---

برای یافتن دو رقم آخر مجموع

$T = \sum_{k=0}^{99} (n+k)^8 $،
 باید مقدار

 $T \mod 100  $
را محاسبه کنیم. چون

$ n $
عدد صحیح است، می‌توانیم از خواص پیمانه‌ای و تقارن استفاده کنیم.

---

 مرحله 1: بازنویسی مجموع

مجموع را بازنویسی می‌کنیم:

$
T = \sum_{k=0}^{99} (n+k)^8 = \sum_{j=n}^{n+99} j^8
$

یعنی مجموع 100 عدد متوالی به توان 8.

---

 مرحله 2: پیمانه 100 با تجزیه به 4 و 25

برای یافتن دو رقم آخر، کافیست:

$
T \mod 100 \quad \Rightarrow \quad T \mod 4 \quad \text{و} \quad T \mod 25
$

سپس با استفاده از قضیه باقی‌مانده چینی (CRT) مقدار نهایی را می‌یابیم.

مرحله 3: محاسبه

$T \mod 4 $

هر عدد صحیح

$ j $
به توان 8 پیمانه 4 را حفظ می‌کند:

- اگر

$j \equiv 0 \mod 2  $→$  j^8 \equiv 0 \mod 4 $
- اگر

$ j \equiv 1 \mod 2 $ →$  j^8 \equiv 1 \mod 4 $

در 100 عدد متوالی، 50 عدد زوج و 50 عدد فرد داریم:

$
T \mod 4 = 50 \cdot 0 + 50 \cdot 1 = 50 \mod 4 = 2
$

---

 مرحله 4: محاسبه

$ T \mod 25 $

برای پیمانه 25، از خواص دوره‌ای توانی استفاده می‌کنیم. چون 100 عدد متوالی داریم، و توانی از درجه بالا (توان 8)، می‌توانیم از میانگین استفاده کنیم.

اما نکته مهم: تابع

$ f(j) = j^8 \mod 25 $
دوره‌ای است و می‌توان با محاسبه مجموع

$ j^8 \mod 25 $
 برای

$ j = 0 $
 تا \( 24 \)
 دوره را یافت.

با محاسبه عددی یا استفاده از جدول توانی‌ها، می‌توان نشان داد که:

$
\sum_{j=0}^{24} j^8 \equiv 0 \mod 25
$

چون توزیع توانی‌ها در پیمانه 25 متقارن است، مجموع 100 عدد متوالی (که شامل 4 دوره کامل از 25 عدد است) نیز:

$
T \mod 25 = 0
$

---

مرحله 5: ترکیب با CRT

اکنون داریم:

-$ T \equiv 2 \mod 4 $
- $T \equiv 0 \mod 25 $

می‌خواهیم

$  T \mod 100 $
را بیابیم.

فرض کنیم

 $T \equiv x \mod 100 $
، آنگاه:

$
x \equiv 0 \mod 25 \Rightarrow x = 25k
$
$
25k \equiv 2 \mod 4 \Rightarrow k \equiv 2 \mod 4 \Rightarrow k = 4m + 2
\Rightarrow x = 25(4m + 2) = 100m + 50
\Rightarrow x \equiv 50 \mod 100
$

---

 پاسخ نهایی:

دو رقم آخر مجموع

$ T = \sum_{k=0}^{99} (n+k)^8 $
 برابر است با:

$
\boxed{50}
$

Answer 1

واضح است که $$T= \sum _0^{99}n^8 \qquad پیمانه100$$ از آنجا که 100 حاصل ضرب دو عدد 4و 25 که نسبت بهم اول می باشند، کافی که باقیمانده T بر4و 25 بدست می آوریم،

پیمانه 4 داریم $$(4k+i)^8 \overset{4}{\equiv} i^8 \quad i=0,1,2,3$$ $$\qquad \qquad \overset{4}{\equiv}0،1،0,1\quad i=0,1,2,3 $$ در صد عدد متوالی از هر مورد 25 تا می باشه پس داریم $$T \overset{4}{\equiv}50 \overset{4}{\equiv}2 \quad (*) $$ برای پیمانه 25 داریم $$(25k+i)^8 \overset{25}{\equiv} i^8 \quad i=0,1,2...,24$$

$$\quad \overset{25}{\equiv}0,1,6،11،16،21\quad i=0,1,2،3....24 $$ برای 25 باید دقیق بررسی کنیم $$i^8 \overset{25}{\equiv}0 \quad i=0,5,10,15,20$$ $$i^8 \overset{25}{\equiv}1 \quad i=1,7,18,24$$ $$i^8 \overset{25}{\equiv}6 \quad i=2,11,14,23$$ $$i^8 \overset{25}{\equiv}11\quad i=3,4,21,22$$ $$i^8 \overset{25}{\equiv}16\quad i=6,8,17,19$$ $$i^8 \overset{25}{\equiv} 21\quad i=9,12, 13,16$$ بنابراین داریم $$4(4(1+6+11+16+21)+5(0))=880$$ $$T \overset{25}{\equiv}5\quad (**)$$

از آنجا که T (دو رقم سمت راستش) کوچکتر از 100 از رابطه اخیر نتیجه می شه که یا5 یا 30 یا 55یا 80 می باشه با توجه به (*) T فقط 30 می باشه. بنابراین مجموع به 30 ختم می شود.

Answer 2

برای پیدا کردن دو رقم آخر مجموع $T = \sum_{k=0}^{99} (n+k)^8$، باید مقدار این عبارت رو به پیمانهٔ ۱۰۰ حساب کنیم. چون این مجموع روی ۱۰۰ عدد صحیح متوالی انجام می‌شه، جملات $(n+k)$ برای $k=0$ تا $99$ یک دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانهٔ ۱۰۰ می‌سازن؛ این یعنی مقدار مجموع به $n$ وابسته نیست و با مجموع توان‌های هشتم اعداد از ۰ تا ۹۹ هم‌نهشته. اگه فرض کنیم $S = \sum_{m=0}^{99} m^8$، با توجه به اینکه $100 = 4 \times 25$ و اعداد ۴ و ۲۵ نسبت به هم اول هستن، می‌تونیم $S$ رو جداگانه به پیمانهٔ ۴ و ۲۵ محاسبه کنیم و بعد نتایج رو با هم ترکیب کنیم.

اول مقدار $S$ رو به پیمانهٔ ۴ بررسی می‌کنیم. بازهٔ اعداد ۰ تا ۹۹ شامل ۱۰۰ جمله‌ست و چون باقی‌مانده‌ها به پیمانهٔ ۴ هر ۴ تا تکرار می‌شن، مجموع $S$ شامل ۲۵ بلوک یکسان از مجموع روی یک دستگاه کامل مانده‌ها یعنی $\{0, 1, 2, 3\}$ می‌شه. تو هر بلوک، اگه مانده‌ها رو تک‌تک به توان ۸ برسونیم داریم: $0^8=0$، $1^8=1$، $2^8=256 \equiv 0$ و $3 \equiv -1$ که توان هشتمش برابر ۱ می‌شه. بنابراین مجموع جملات تو هر بلوک برابر ۲ هست و کل مجموع این‌طوری حساب می‌شه: $$ S \equiv 25 \times 2 = 50 \equiv 2 \pmod{4} $$

حالا بریم سراغ محاسبهٔ دقیق‌تر $S$ به پیمانهٔ ۲۵. این بازه شامل ۴ بلوک کامل از مانده‌های ۰ تا ۲۴ هست. اگه بذاریم $A = \sum_{r=0}^{24} r^8$، اون‌وقت داریم $S \equiv 4A \pmod{25}$. جملات رو به دو دسته تقسیم می‌کنیم: مضارب ۵ و اعدادی که با ۵ متباین هستن. برای مضارب ۵، عبارت $r^8$ مضرب $5^8$ می‌شه و به پیمانهٔ ۲۵ صفر درمیاد. پس محاسبهٔ $A$ محدود می‌شه به جمع روی گروه ضربی یکان‌های پیمانهٔ ۲۵ یا همون $(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})^\times$. مرتبهٔ این گروه برابر با $\phi(25)=20$ هست. نگاشت $x \mapsto x^8$ این گروه رو به زیرگروهی از توان‌های هشتم می‌بره. اندازهٔ هستهٔ (Kernel) این نگاشت برابر با $\gcd(8, 20) = 4$ هست، بنابراین اندازهٔ تصویر برابر با $\frac{20}{4}=5$ می‌شه. اعضای این زیرگروه توسط $2^8$ (که ۲ ریشهٔ اولیه است) تولید می‌شن. با توجه به اینکه $2^8 = 256 \equiv 6 \pmod{25}$، پنج ماندهٔ متمایز توان هشتم شامل $1, 6, 11, 16, 21$ هستن. مجموع این مقادیر برابر ۵۵ هست که به پیمانهٔ ۲۵ می‌شه ۵. چون اندازهٔ هسته ۴ بود، هر کدوم از این ۵ مقدار دقیقاً ۴ بار تو مجموع $A$ ظاهر می‌شن، پس $A \equiv 4 \times 5 = 20 \pmod{25}$ و در نهایت: $$ S \equiv 4A \equiv 4 \times 20 = 80 \equiv 5 \pmod{25} $$

تو مرحلهٔ آخر، با استفاده از قضیهٔ باقی‌ماندهٔ چینی (CRT) دستگاه هم‌نهشتی $S \equiv 2 \pmod{4}$ و $S \equiv 5 \pmod{25}$ رو حل می‌کنیم. از معادلهٔ دوم می‌نویسیم $S = 25k + 5$. با جایگذاری تو معادلهٔ اول داریم $25k + 5 \equiv k + 1 \equiv 2 \pmod{4}$ که نتیجه می‌ده $k \equiv 1 \pmod{4}$. با انتخاب $k=1$، مقدار نهایی $S = 25(1) + 5 = 30$ به دست میاد، پس دو رقم آخر مجموع برابر ۳۰ هست.