$ \int _0^ \infty \frac{sin( \pi ax)}{x \prod _ {k=1} ^ {n} ( k^{2} - x^{2} )} dx= \frac{ \pi 2^{2n-2} }{(2n)!}(1- (-1)^{a} ) $

Question

مطلوب است اثبات رابطه زیر:

$ \int _0^ \infty \frac{sin( \pi ax)}{x \prod _ {k=1} ^ {n} ( k^{2} - x^{2} )} dx= \frac{ \pi 2^{2n-2} }{(2n)!}(1- (-1)^{a} ) $

Answer 1

ایده‌ای برای حل به کمک انتگرال‌های کنتور (مختلط روی مسیر هموار ):

قرار دهید:

$$F(z):= \frac{e^{\pi az}}{z \prod _{k=1}^{k=n}(k^2-z^2)}$$

حالا $C$ را مسیر حاصل از اجتماع را نیم دایرۀ به شعاع $r<1$>0 و نیمدایره به شعاع $R>n$ و دو پاره خط روی محور افقی که این دو نیم دایره را به هم وصل می کند بگیرید. پس بنابه قضیه کوشی گورسا داریم:

$$ \int_CF(z)dz=2\pi i( \sum_{k=1}^nB_k)$$

که در آن $B_k$ مانده تابع در نقطۀ $z_k=ki$ است.حالا انتگرال را چهار بخش کنید و از طرفین حد بگیرید تا به نتیجه برسید.

اگر نقطۀ $z_0=0$ براتان مشکل ساز از است از تکنیک لایبنیتز ( فاینمن ) استفاده کنید. انتگرال فوق را $I(a)$ بنامید:

$$I'(a)=\pi \int _0^ \infty \frac{cos\pi ax}{\prod _{k=1}^{k=n}(k^2-x^2)}dx$$

حالا روش قبل را برای تابع:

$$F(z):=\frac{e^{\pi az}}{\prod _{k=1}^{k=n}(k^2-z^2)}$$

بکار بگیرید.و در اینجا نیم دایره کوچک را حذف کنید.

$\Box$