اگر $m,n,p$ ریشههای معادله باشند داریم:
$$2x^3-2ax^2+(a^2-81)x-c=2(x-m)(x-n)(x-p)$$
حالا بنا به روابط ویت داریم:
$$m+n+p=-\frac{-2a}{2}=a$$
$$mn+np+pm=\frac{a^2-81}{2}$$
$$,mnp=-\frac{-c}{2}=\frac{c}{2}$$
از دو رابطه اول داریم:
$$2(mn+np+pm)=a^2-81=(m+n+p)^2-81$$
$$=m^2+n^2+p^2+2(mn+np+pm)-81$$
$$ \Rightarrow m^2+n^2+p^2=81$$
به سادگی متوجه می شویم (چطور؟) که این معادله در اعداد طبیعی با اغماض جایگشها دارای سه جواب $(1,4,8)$ و $(4,4,7)$ و $(3,6,6)$ است.پس برای $c$ سه مقدار به دست میآید:
$$c_1=2m_1n_1p_1=2 \times 1 \times 4 \times 8=64$$
$$c_2=2m_2n_2p_2=4 \times 4 \times 7=224$$
$$c_3=2m_3n_3p_3=2 \times 3 \times 6 \times 6=216$$
پس در حالتی که $a=15$ دو مقدار $c_2$ و $c_3$ برای $c$ داریم که $c_2+c_3=440$ و در حالت $a=13$ فقط یک مقدار $c_1$ برای $c$ هست.
$\Box$
