سلام.
اول اینکه موضوع را خیلی درهم مطرح کردید دومن منظورتان باید تعریف حد باشد نه قضیه به قول شما ایپسیلن دلتا.
من سعی می کنم خیلی ساده حد را برای شما تعریف کنم:
قبل از هر چیز اگر $a,t,s \in R , t<a<s$ هر بازۀ به شکل $(t,a)$، $(a,s)$ و $(t,s)$ را به ترتیب یک همسایگی چپ، همسایگی راست و همسایگی برای نقطه ( عدد حقیقی ) $a$ گویند.
حالا اگر $f$ تابعی با دامنۀ زیر مجموعه اعداد حقیقی و با مقادیر حقیقی باشد و دامنۀ $f$ حاوی همسایگیی چپ از $a$ باشد و عدد حقیقی $l$ موجود باشد داشته باشیم:
$$ \forall \epsilon >0 \exists \delta >0:(a- \epsilon <x<a \Longrightarrow |f(x)-l|< \delta )$$
در این صورت میگوییم تابع $f$در نقطۀ $a$ دارای حد چپ است و مقدار آن برابر با $l$ است. در زبان فاخر ریاضیات تمام این مفاهیم را به صورت زیر نشان میدهیم.
$$\ \lim_{x\to a^-} f(x)=l$$
توجه شود نقطهای که میخواهیم حدودش را بررسی کنیم لزومی نیست جزو دامنه باشد.
به همین شیوه میتوان حد راست و حد را هم تعریف کرد و بلافاصله می توان نتجه گرفت که حد (راست، چپ) در صورت وجود منحصر بفرد است و تابعی در نقطهای حد دارد اگر و تنها اگر حد چپ و راست داشته و مقدار آنها مساوی باشد.
توجه کنید تعریفی که من ارائه دادم برای سطح دبیرستان است و گر نه می توان حد را برای توابعی که دامنهشان شامل همسایگی ها نباشد مثل توابعی با دامنه اعداد طبیعی یا حتا توابعی که دامنه و بردشان اصلن اعداد حقیقی نباشد هم تعریف کرد و این کار نیاز به شیرینترین مفهوم ریاضی بنام توپولوژی دارد.
شاید هیچ مفهومی در ریاضیات تکاملش به اندازۀ حد زمان نبرده باشد. از دوران یونان باستان تا ارشمیدس و گالیله و لایبنیتز و نیوتون و ...دریکله و بولتسانو و وایرشتراس و هاسدورف...
لطیفه:
متاسفانه چند سالی است مفاهیم حد و حساب انتگرال از کتابهای دبیرستان رخت بربسته و به دیار باقی شتافته. این نگرانی متوجه خیل اساتید ریاضی ایران شد و انجمن ریاضی ایران چند سالی پیش طی نامهای به وزارت آموزش و پروش خواهان دلیل شد اما این نامه هنوز هم بی جواب مانده است. نامه را میتوان در نشریههای خبرنامه انجمن ریاضی یافت.
$\Box$
