Question

صحت عبارت زیر را بررسی کنید:

$ \int _0^1 \frac{ x^{6} }{ (x(1- x^{2} ))^{ \frac{1}{3} } }dx= \frac{14 \pi }{81 \sqrt{3} } $

Answer 1

راهنمایی :

تغییر متغیر $t:=x^2$ را انجام دهید و از تعریف و خواص تابع گاما و بتا که در زیر آمده استفاده کنید:

$$1) B(x,y):=\ \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$

$$2)B(x+1,y)= \frac{x}{x+y}B(x,y)$$

$$3)B(x,y)= \frac{ \Gamma(x) \Gamma(y) }{ \Gamma(x+y)} $$

$$4) \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{sin(\pi x)} $$

$\Box$