به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
9,891 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567

enter image description here

باتوجه به شکل بالا

ثابت کنید .

$$AG= \frac{2}{3}AM $$

$$BG= \frac{2}{3}BM' $$

$$CG= \frac{2}{3}CM' $$

توسط erfanm
اگر به کتاب هندسه دو صفحه 36 در اثبات اینکه میانه ها همرس هستند این مطلب ثابت شده است .

اگر به کتاب دسترسی ندارید بفرمایید تا اثبات را قرار دهم.
توسط asal4567
+1
@erfanm
ممنون میشم اثباتشو همین اینجا قرار دهید!!

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

فرض کنید $E$ و $F$ به ترتیب نقاط وسط پاره خط های $BG$ و $CG$ باشند یعنی $BE=EG$ و $CF=FG$ .

enter image description here

چون $M'$ و $M''$ وسط پاره خطهای $AB$ و $AC$ هستند لذا $\frac{AM'}{M'B}=\frac{AM''}{M''B}=1$ پس بنابر عکس قضیه تالس $$M'M''\parallel BC$$ پس بنابر نتیجه قضیه تالس $\frac{AM'}{AB}=\frac{AM''}{AC}=\frac{M'M''}{BC}=\frac 12$ یعنی $$M'M''=\frac{BC}{2}$$ و با استدلال دقیقا مشابه بالا در مثلث $GBC$ داریم $$EF\parallel BC\\ EF=\frac{BC}{2}$$ بنابراین $M'M''\parallel EF , M'M''=EF$ لذا چهارضلعی $M'M''FE$ متوازی الاضلاع است. بنابراین قطرهای آن یکدیگر را نصف می کنند یعنی $EG=GM''$ و $FG=GM'$ . بنابراین $BE=EG=GM''=\frac{BM''}{3}$ و $CF=FG=GM'=\frac{CM'}{3}$ . که این هم خواسته ی شما را نتیجه می دهد . یعنی $BG=\frac{2}{3}BM''$ و $CG=\frac23 CM'$ . برای اثبات تساوی دیگر کافی است دو میانه دیگر را در نظر گرفته و موارد بالا را تکرار کنید.

توسط
+1
خیلی ممنون.....
0 امتیاز
توسط

سلام وسط های GC و GB را به ترتیب S و N بنامید M' M"=SN پس GM'=GS=SC و GM''=NG=BN

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...