برای راحتی کار قرار می دهیم $J= \sqrt{I} $ طبق فرض $J $ متناهی مولد است پس میتوان نوشت
:$j= < g_{1} ,... g_{t} > $
پس به ازای هر $ i $ داریم $ g_{i} \in J= \sqrt{I} $ و طبق تعریف رادیکال $ n_{i} $ وجود دارد به طوریکه $ g_{i} ^{ n_{i} } \in I $ حال قرار میدهیم $N= n_{1}+...+n_{t} $ و ثابت می کنیم که
$ J^{N} \subseteq I $ است.
عنصر دلخواهی را در $J^{N} $ در نظر می گیریم این عنصر به صورت
$$ \sum a_{i} g_{1}^{b_{1i}} ... g_{t}^{b_{ti} }\ \ \ \ \ \ \ \ s.t \ \ \ \ b_{1i}+...+b_{ti}=N$$ است نشان میدهیم که هر جمعوند در $ I $ است پس این عنصر در $ I$ خواهد بود.
از آنجایی که $b_{1i}+...+b_{ti}=N$ پس حد اقل یکی از $b_{ji} $ها از $ n_{j}$ بزرگتر است(اثبات در آخر) پس $g_{j} ^{ n_{j} } \mid g_{1}^{b_{1i}} ...g_{j}^{b_{ji}} ... g_{t}^{b_{ti} } $ و چون
$ g_{j} ^{ n_{j} } \in I $ پس $g_{1}^{b_{1i}} ...g_{j}^{b_{ji}} ... g_{t}^{b_{ti} } \in I $ و حکم ثابت شد.
حال اثبات نکته ی آخر : از برهان خلف استفاده می کنیم فرض کنید تمام $b_{ji} $ها کوچکتر از $ n_{j}$ باشند یعنی:
$$b_{1i} < n_{1}$$
$$ \vdots $$
$$b_{ji} < n_{j}$$
$$ \vdots $$
$$b_{ti} < n_{t}$$
که با جمع طرفین داریم:
$$b_{1i}+...+b_{ti} < n_{1}+...+n_{t}=N$$
که تناقض است.
