خواص رادیکال ایده آل

Question

اگر $I , J$ دو ایده آل حلقه $R$ باشند آنگاه:

1) $ \sqrt{I}=R $ $ \Longleftrightarrow $ $I=R$

2) $ \sqrt{ \sqrt{I} }= \sqrt{I} $

3) $ \sqrt{IJ}= \sqrt{I \cap J }= \sqrt{I} \cap \sqrt{J} $

4) $ \sqrt{ I^{n} }= \sqrt{I} $

5) اگر $P$ ایده آل اول $R$ باشد آنگاه $ \sqrt{P}=P $

Answer 1

برهان:

1)اگر $ \sqrt{I}=R $ آنکاه $I=R$

چون $1 \epsilon R$ پس وجود دارد$ n \epsilon N $ به طوریکه $ 1^{n} \epsilon I $ در نتیجه $1 \epsilon I$ پس $I=R$

اگر $I=R$ انگاه $ \sqrt{I}=R $

$R=I \subseteq \sqrt{I} \subseteq R $ در نتیجه $ \sqrt{I}=R $

2) به ازای هر ایده آل $J$ ، داریم $J \subseteq \sqrt{J} $ پس با رادیکال گیری از طرفین داریم: $ \sqrt{J} \subseteq \sqrt{ \sqrt{J} } $*

برای اثبات طرف دوم فرض می کنیم $x \epsilon \sqrt{ \sqrt{I} } $ پس بنا به تعریف وجود دارد $n \epsilon N$ به طوریکه $ x^{n} \epsilon \sqrt{I} $ باز بنا به تعریف وجود دارد$m \epsilon N$ به طوریکه $ (x^{n}) ^{m} \epsilon N $ یعنی $ x^{nm} \epsilon N $ , لذا

$x \epsilon \sqrt{I} $ و این یعنی $ ** \sqrt{ \sqrt{I} } \subseteq \sqrt{I} $

پس از $*$ و $**$ حکم بدست میاد.

منتظر اثبات قسمت های دیگه باشین!