به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
473 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567

تعریف دترمینان؟!؟! واینکه چگونه محاسبه میشه...با دلیل(اثبات فرمولشو میخوام)؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina

تعریف کلی دترمینان یک ماتریس $n\times n$ مثل $A=[a_{ij}]$ به صورت زیر تعریف می شود: $$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(sgn \sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2))}...a_{n\sigma(n)}\label{*}\tag{*}$$

که در آن $S_n$ عبارت است از تمام توابع یک به یک و پوشا از $\{1,2,...,n\}$ به خودش.

چنین تابعی را به صورت $ \begin{bmatrix}1 & 2&...&n \\ j_1 & j_2&...&j_n \end{bmatrix} $نمایش دهیم یعنی $\sigma(1)=j_1$و $\sigma(2)=j_2$و...

هر کدام از این توابع را یک جایگشت گوییم و مجموعه تمام جایگشت ها را با $S_n$ نمایش می دهیم. تعداد کل این توابع برابر است با $n!$ .

به عنوان مثال $2!=2$ جایگشت در $S_2$ داریم $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ و $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $

یا $3!=6$ جایگشت در $S_3$ داریم.(سعی کنید همه را بنویسید!)

حال چندجمله ای $P(x_1,...,x_n)$ را به صورت زیر تعریف کنید: $$P(x_1,...,x_n)=\prod_{i< j}(x_i-x_j)$$ و برای هر جایگشت $\sigma$ در $S_n$ تعریف کنید $$\sigma(P)=\prod_{i< j}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})$$ .

در اینصورت واضح است که $\sigma(P)$ دو حالت دارد : $\sigma(P)=\pm P$

اگر $sigma(P)=P$ شود می گویند جایگشت $sigma$ زوج و اگر $\sigma(P)=-P$ آن را جایگشتی فرد می نامند.

در اینصورت تعریف می کنیم $$sgn(\sigma)=\begin{cases}1& if\ \sigma\ is\ even\\ -1&if\ \sigma\ is\ odd\end{cases}$$ .

یعنی اگر $\sigma$ زوج باشد قرار می دهیم $sgn(\sigma)=1$ و اگر فرد باشد $sgn(\sigma)=-1$ .


در اینصورت برای ماتریس $A=[a_{11}]$ یک ماتریس یک در یک چون $S_1=1!=1$و آن هم تابع همانی است پس این جایگشت زوج بوده و لذا با جاگذاری در معادله $\eqref{*}$ داریم: $$A=a_{11}$$


برای ماتریس دو در دوی $A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $ چون دو تا جایگشت داریم یکی $ \sigma=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ که زوج است(چرا؟) و دیگری $\sigma'= \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $ که فرد است زیرا $\prod_{i< j}(x_{\sigma'(i)}-x_{\sigma'(j)})=(x_2-x_1)=-P$ . بنابراین داریم: $$det(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

و به همین ترتیب می توان برای ماتریس های سه در سه و مراتب بیشتر هم دترمینان را به دست آورد.

توسط asal4567
+1
@fardina
در جایی دترمینان رو اینطوری تعریف میکرد$ \sum_1^n    (-1)^{i+j}  a_{ij}  D( A_{ij} ) $
ایا این تعریف درسته ؟
توسط fardina
+1
بله اگر تعریف کلی ماتریس رو که نوشتم رو در نظر بگیریم در اینصورت قضیه ای هست منصوب به لاپلاس که ثابت میکنه تعریف بالا با تعریف شما یکسانه.
لطف برای اثبات اینجا رو ببینید: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion
hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...