به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
430 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

تعریف دترمینان؟!؟! واینکه چگونه محاسبه میشه...با دلیل(اثبات فرمولشو میخوام)؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

تعریف کلی دترمینان یک ماتریس $n\times n$ مثل $A=[a_{ij}]$ به صورت زیر تعریف می شود: $$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(sgn \sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2))}...a_{n\sigma(n)}\label{*}\tag{*}$$

که در آن $S_n$ عبارت است از تمام توابع یک به یک و پوشا از $\{1,2,...,n\}$ به خودش.

چنین تابعی را به صورت $ \begin{bmatrix}1 & 2&...&n \\ j_1 & j_2&...&j_n \end{bmatrix} $نمایش دهیم یعنی $\sigma(1)=j_1$و $\sigma(2)=j_2$و...

هر کدام از این توابع را یک جایگشت گوییم و مجموعه تمام جایگشت ها را با $S_n$ نمایش می دهیم. تعداد کل این توابع برابر است با $n!$ .

به عنوان مثال $2!=2$ جایگشت در $S_2$ داریم $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ و $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $

یا $3!=6$ جایگشت در $S_3$ داریم.(سعی کنید همه را بنویسید!)

حال چندجمله ای $P(x_1,...,x_n)$ را به صورت زیر تعریف کنید: $$P(x_1,...,x_n)=\prod_{i< j}(x_i-x_j)$$ و برای هر جایگشت $\sigma$ در $S_n$ تعریف کنید $$\sigma(P)=\prod_{i< j}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})$$ .

در اینصورت واضح است که $\sigma(P)$ دو حالت دارد : $\sigma(P)=\pm P$

اگر $sigma(P)=P$ شود می گویند جایگشت $sigma$ زوج و اگر $\sigma(P)=-P$ آن را جایگشتی فرد می نامند.

در اینصورت تعریف می کنیم $$sgn(\sigma)=\begin{cases}1& if\ \sigma\ is\ even\\ -1&if\ \sigma\ is\ odd\end{cases}$$ .

یعنی اگر $\sigma$ زوج باشد قرار می دهیم $sgn(\sigma)=1$ و اگر فرد باشد $sgn(\sigma)=-1$ .


در اینصورت برای ماتریس $A=[a_{11}]$ یک ماتریس یک در یک چون $S_1=1!=1$و آن هم تابع همانی است پس این جایگشت زوج بوده و لذا با جاگذاری در معادله $\eqref{*}$ داریم: $$A=a_{11}$$


برای ماتریس دو در دوی $A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $ چون دو تا جایگشت داریم یکی $ \sigma=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ که زوج است(چرا؟) و دیگری $\sigma'= \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $ که فرد است زیرا $\prod_{i< j}(x_{\sigma'(i)}-x_{\sigma'(j)})=(x_2-x_1)=-P$ . بنابراین داریم: $$det(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

و به همین ترتیب می توان برای ماتریس های سه در سه و مراتب بیشتر هم دترمینان را به دست آورد.

دارای دیدگاه توسط
+1
@fardina
در جایی دترمینان رو اینطوری تعریف میکرد$ \sum_1^n    (-1)^{i+j}  a_{ij}  D( A_{ij} ) $
ایا این تعریف درسته ؟
دارای دیدگاه توسط
+1
بله اگر تعریف کلی ماتریس رو که نوشتم رو در نظر بگیریم در اینصورت قضیه ای هست منصوب به لاپلاس که ثابت میکنه تعریف بالا با تعریف شما یکسانه.
لطف برای اثبات اینجا رو ببینید: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...