تعریف کلی دترمینان یک ماتریس $n\times n$ مثل $A=[a_{ij}]$ به صورت زیر تعریف می شود:
$$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(sgn \sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2))}...a_{n\sigma(n)}\label{*}\tag{*}$$
که در آن $S_n$ عبارت است از تمام توابع یک به یک و پوشا از $\{1,2,...,n\}$ به خودش.
چنین تابعی را به صورت $ \begin{bmatrix}1 & 2&...&n \\ j_1 & j_2&...&j_n \end{bmatrix} $نمایش دهیم یعنی $\sigma(1)=j_1$و $\sigma(2)=j_2$و...
هر کدام از این توابع را یک جایگشت گوییم و مجموعه تمام جایگشت ها را با $S_n$ نمایش می دهیم. تعداد کل این توابع برابر است با $n!$ .
به عنوان مثال $2!=2$ جایگشت در $S_2$ داریم $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ و $ \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $
یا $3!=6$ جایگشت در $S_3$ داریم.(سعی کنید همه را بنویسید!)
حال چندجمله ای $P(x_1,...,x_n)$ را به صورت زیر تعریف کنید: $$P(x_1,...,x_n)=\prod_{i< j}(x_i-x_j)$$
و برای هر جایگشت $\sigma$ در $S_n$ تعریف کنید $$\sigma(P)=\prod_{i< j}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})$$ .
در اینصورت واضح است که $\sigma(P)$ دو حالت دارد : $\sigma(P)=\pm P$
اگر $sigma(P)=P$ شود می گویند جایگشت $sigma$ زوج و اگر $\sigma(P)=-P$ آن را جایگشتی فرد می نامند.
در اینصورت تعریف می کنیم $$sgn(\sigma)=\begin{cases}1& if\ \sigma\ is\ even\\ -1&if\ \sigma\ is\ odd\end{cases}$$ .
یعنی اگر $\sigma$ زوج باشد قرار می دهیم $sgn(\sigma)=1$ و اگر فرد باشد $sgn(\sigma)=-1$ .
در اینصورت برای ماتریس $A=[a_{11}]$ یک ماتریس یک در یک چون $S_1=1!=1$و آن هم تابع همانی است پس این جایگشت زوج بوده و لذا با جاگذاری در معادله $\eqref{*}$ داریم: $$A=a_{11}$$
برای ماتریس دو در دوی $A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $ چون دو تا جایگشت داریم یکی $ \sigma=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{bmatrix} $ که زوج است(چرا؟) و دیگری
$\sigma'= \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{bmatrix} $ که فرد است زیرا $\prod_{i< j}(x_{\sigma'(i)}-x_{\sigma'(j)})=(x_2-x_1)=-P$ . بنابراین داریم:
$$det(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$
و به همین ترتیب می توان برای ماتریس های سه در سه و مراتب بیشتر هم دترمینان را به دست آورد.
