ماکسیمم مقدار دترمینان

Question

فرض کنید $A=(a_{i,j})_{n \times n}$ یک ماتریس حقیقی است به طوری که به ازای هر $i,j$ داریم $|a_{i,j}| \leq 1$ ثابت کنید : $$|det(A)|^2 \leq \prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|^2 $$

Comments

شرطی که قرار دادی زائده.بدون اون شرط فرمول برقراره.

Answer 1

برای اثبات دوتا لم رو ثابت می کنیم لم 1:گیریم A یک ماتریس معین مثبت $n \times n$ و B ماتریس $(n+1) \times (n+1)$ زیر باشد

$B= \begin{bmatrix}A & b \\b'& \alpha \end{bmatrix} $

انگاه $ \mid B \mid \leq \alpha \mid A \mid $. برهان:$ \mid B \mid = \mid A \mid ( \alpha -b' A^{-1} b)$ و از این فرمول لم ثابت می شود.

لم2:گیریم A یک ماتریس معین مثبت $n \times n$ باشد.آن گاه $ \mid A \mid \leq \prod_1^n a_{ii} $.

برهان:گیریم $ A_{(k)} $ کاامین زیرماتریس اصلی باشد.در این صورت بدیهی است که $ A_{(n)}=A, A_{(1)}=a_{11}$.حال باتوجه به لم قبلی داریم $ \mid A_{(n)} \mid \leq a_{nn} \mid A_{(n-1)} \mid \leq \prod_1^n a_{ii} $ و اثبات تمام است.

حالا فرمول اصلی رو ثابت می کنیم $AA'$ معین مثبت است طبق لم 2 داریم

$ \mid A \mid ^{2}= \mid AA' \mid \leq \prod_1^n ( \sum_1^n a_{ij} ^{2}) $

روش دیگه اثبات استفاده از تجزیه QR