باسلام. نشان دهید هر حلقه ی کاهشی (reduced ring) نیم اول (semiprime) است. با تشکر.

Question

باسلام. این سوال در حلقه های ناجابه جایی است.

Answer 1

با توجه به تعریف کافیه ثابت کنیم که $\sqrt{(0)} =(0)$ همواره داریم $(0) \subseteq \sqrt{(0)}$ پس باسد نشان دهیم $\sqrt{(0)} \subseteq (0)$

فرض کنید $r \in \sqrt{(0)}$ باشد اگر $r=0$ حکم برقرار است

نشان میدهیم نمیتواند $r \neq 0$ باشد از برهان خلف حکم را نشان می دهیم: پس فرض کنید که $r \neq 0$ طبق تعریف یک $n$ وجود دارد که $r^{n} \in (0)$ یعنی $r^{n} =0$

حال میتوان توان را کمترین توان در نظر گرفت که $r^{n} =0$ دو حالت داریم اگر $n=2k$ آنگاه $r^{n} =(r^{k} )^{2} =0$ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0$ که با اینکه $n$ کوچکترین توان بود در تناقض است.

حالت دوم اینکه $n=2k -1$ پس $r^{2k}$ نیز برابر صفر است($r^{n}=r^{2k-1}=0$ حال طرفین را در $r$ ضرب میکنیم) یعنی $r^{2k} =(r^{k} )^{2} =0$ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0$ که با اینکه $n$ کوچکترین توان بود در تناقض است.

چون $n > k$ است فرض کنید چنین نباشد یعنی

$$n \leq k \Rightarrow 2k-1 \leq k \Rightarrow k \leq 1$$

اما اگر $k=1$ آنگاه $n=1$ پس $r^{n} =r=0$ که تناقض است.

Comments

با سلام. در مورد این سوال ظاهرا از تعریف معادل نیم اول استفاده کرده اید. امکانش هست قضیه ی مربوط به این تعریف معادل را با ذکر منبعش بیان کنید؟

---

از آنجایی که تعریف نیم اول رو نمی دونستم از ویکی پدیا تعریفش رو پیدا کردم
https://en.wikipedia.org/wiki/Semiprime_ring

تقریبا آخرای مطلب گفته شده