با توجه به تعریف کافیه ثابت کنیم که $ \sqrt{(0)} =(0) $ همواره داریم $(0) \subseteq \sqrt{(0)} $ پس باسد نشان دهیم $\sqrt{(0)} \subseteq (0) $
فرض کنید $r \in \sqrt{(0)} $ باشد اگر $r=0 $ حکم برقرار است
نشان میدهیم نمیتواند $r \neq 0 $ باشد از برهان خلف حکم را نشان می دهیم: پس فرض کنید که $r \neq 0 $ طبق تعریف یک $n $ وجود دارد که $ r^{n} \in (0) $ یعنی $ r^{n} =0 $
حال میتوان توان را کمترین توان در نظر گرفت که $r^{n} =0 $ دو حالت داریم اگر $ n=2k $ آنگاه
$r^{n} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.
حالت دوم اینکه $ n=2k -1$ پس $r^{2k} $ نیز برابر صفر است($ r^{n}=r^{2k-1}=0$ حال طرفین را در $r $ ضرب میکنیم) یعنی $r^{2k} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.
چون $ n > k $ است فرض کنید چنین نباشد یعنی
$$n \leq k \Rightarrow 2k-1 \leq k \Rightarrow k \leq 1 $$
اما اگر $ k=1$ آنگاه $n=1 $ پس $r^{n} =r=0 $ که تناقض است.
