به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
147 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

باسلام. این سوال در حلقه های ناجابه جایی است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با توجه به تعریف کافیه ثابت کنیم که $ \sqrt{(0)} =(0) $ همواره داریم $(0) \subseteq \sqrt{(0)} $ پس باسد نشان دهیم $\sqrt{(0)} \subseteq (0) $

فرض کنید $r \in \sqrt{(0)} $ باشد اگر $r=0 $ حکم برقرار است

نشان میدهیم نمیتواند $r \neq 0 $ باشد از برهان خلف حکم را نشان می دهیم: پس فرض کنید که $r \neq 0 $ طبق تعریف یک $n $ وجود دارد که $ r^{n} \in (0) $ یعنی $ r^{n} =0 $

حال میتوان توان را کمترین توان در نظر گرفت که $r^{n} =0 $ دو حالت داریم اگر $ n=2k $ آنگاه $r^{n} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

حالت دوم اینکه $ n=2k -1$ پس $r^{2k} $ نیز برابر صفر است($ r^{n}=r^{2k-1}=0$ حال طرفین را در $r $ ضرب میکنیم) یعنی $r^{2k} =(r^{k} )^{2} =0 $ و چون حلقه کاهشی است پس $r^{k} =0 $ که با اینکه $ n $ کوچکترین توان بود در تناقض است.

چون $ n > k $ است فرض کنید چنین نباشد یعنی $$n \leq k \Rightarrow 2k-1 \leq k \Rightarrow k \leq 1 $$

اما اگر $ k=1$ آنگاه $n=1 $ پس $r^{n} =r=0 $ که تناقض است.

دارای دیدگاه توسط
+1
با سلام. در مورد این سوال ظاهرا از تعریف معادل نیم اول استفاده کرده اید. امکانش هست قضیه ی مربوط به این تعریف معادل را با ذکر منبعش بیان کنید؟
دارای دیدگاه توسط
+1
از آنجایی که تعریف نیم اول رو نمی دونستم از ویکی پدیا تعریفش رو پیدا کردم
https://en.wikipedia.org/wiki/Semiprime_ring

تقریبا آخرای مطلب گفته شده
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...