انتگرال نامعین $\int\sqrt{\cos(x)}{\rm d}x$ را حل کنید.

Question

چگونه می‌توانم انتگرال نامعین زیر را حل کنم و پاسخ آخر چه می‌باشد؟

$$\int\cos^{-0.5}(x){\rm d}x$$

ویرایشگر: پرسش‌گر توضیح بیشتری ننوشته‌است.

Comments

یه نگاه به این کتاب بندازین Paul J. Nahin
Inside Interesting Integrals
صفحه 126 به بعد.

---

فکرمیکنم اینجوریه که سینوس و کسینوس با توان های گویا تابع اولیه نداره

---

توان های گویا منظورت کسری باید باشه. درسته؟

---

برحسب توابع مقدماتی، تابع اولیه موجود نیست.
ولی این انتگرال را می توان بر حسب یک انتگرال دیگر که به انتگرال بیضوی نوع اول معروف است تبدیل کنید. این چنین انتگرال هایی را معمولا با استفاده از برنامه هایی که وجود ددارند به دست می آوردند مثلا اینجا را ببینید: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint+1%2F%28%5Csqrt%7B%5Ccos+x%7D%29
یعنی $\int\frac{1}{\sqrt{\cos x}}=2F(\frac x2|2)+C$ که $F(\phi , k)=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin ^2\theta}}$  . این انتگرال خودش باز تابع اولیه ندارد و ما فقط اسمش را انتگرال بیضوی نوع اول گذاشتیم به خاطر مهم بودن آن.
برای تعریف انتگرال بیضوی نوع اول اینجا را ببینید:
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html

---

درسته.منظورم همینه.

Answer 1

Comments

@OXIDE پاسخ شما به این شکل بی‌معناست چون تابع $F$ و خط عمودیِ داخل ورودی‌هایش بدون تعریف یا اشاره معنایی نخواهند داشت. البته آقای @fardina در دیدگاهی در زیر پرسش این تابع را معرفی کرده‌اند. ولی شما نیز می‌بایست ضابطه را می‌آوردید یا اینکه ارجاع می‌دادید به منبعی که ضابطه را آورده‌باشد.