به کمک دو نکته زیر قضیه را ثابت می کنیم:
$(1$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ P $ ایده آل اولی از $R $ باشد اگر قرار دهیم $Q =PS $ آنگاه $ht(Q)=ht(P) $
$(2$ فرض کنید $ R $ حلقه نوتری ، $S=R[x] $ و $ Q' \subset Q $ که در آن $ Q $ و $Q' $ ایده آلهای اول در $ S $ هستند که هر دو زیر ایده آل اول
$ P $ از $R $ باشند آنگاه $PS=Q $
فرض کنید$P_{0} \subsetneqq P_{1} \subsetneqq ... \subsetneqq P_{n} $ زنجیر دلخواهی از ایده آل ها اول در
$ R $ باشد اگر قرار دهیم $Q_{n}=P_{n}S $ آنگاه طبق نکته $1$ داریم
$ht(Q_{n})=ht(P_{n})=n $پس یک زنجیر به طول $ n $ از ایده آل های اول در $S $ مانند $ Q_{0} \subsetneqq Q_{1} \subsetneqq ... \subsetneqq Q_{n} $وجود دارد اما این زنجیر قابل افزایش است چون داریم $ Q_{n} \subsetneqq Q_{n+1} =Q_{n}+(x)$(دقت کنید $x \notin Q_{n} $ چون در غیر اینصورت باید $1 \in P_{n} $ باشد اما $P_{n} \neq R $ است چون ایده الی اول است لذا سره است)
پس به ازای هر زنجیر به طول $ n $ در $R $ حداقل یک زنجیر به طول $n+1 $ در $S=R[x] $ موجود است یعنی $ dim R +1 \leq dim S $
حال نشان میدهیم $ dim R+1 \geq dim S $ یا $ dim R \geq dim S -1 $
فرض کنید $ Q_{0} \subsetneqq Q_{1} \subsetneqq ... \subsetneqq Q_{n} $ زنجیری دلخواه از ایده آلهای اول در $S $ باشد قرار می دهیم $P_{i} =Q_{i} \cap R $ در اینصورت زنجیری از ایده آلهای اول در
$ R $ را خواهیم داشت اما در این زنجیر تمام عناصر متمایز نیستند چون اگر متمایز باشند آنگاه
$dimR \geq dimS > dimS-1 $ که با رابطه ی بدست آمده در بالا در تناقض است. پس فرض کنید که $j $ بزرگترین اندیسی باشد که برای آن $P_{i}=P_{i+1} $ باشد (یعنی اگر $ i > j $ آنگاه $ P_{i} \subsetneqq P_{i+1} $)
از نکته $2$ داریم $Q_{j}=P_{j}S $ و $ht(Q_{j})=ht(P_{j}) \geq j $ اما با توجه به انتخاب $ j $ داریم:
$$ P_{j}=P_{j+1} \subsetneqq P_{j+2} \subsetneqq ... \subsetneqq P_{n} $$ پس $ht(P_{j})+(n-j-1) \leq dimR $ اما از آنجایی که $ht(P_{j}) \geq j $ پس $ n-1 \leq dimR $
یعنی به ازای هر زنجیر به طول $ n$ در $S $ داریم $n-1 \leq dimR $ پس $ dim R \geq dim S -1 $ وحکم ثابت شد.
