فرض کنید R نوتری باشد.نشان دهید که

Question

نشان دهید که $dim R[x]=dim R + 1$

Answer 1

به کمک دو نکته زیر قضیه را ثابت می کنیم:

$(1$ فرض کنید $R$ حلقه نوتری ، $S=R[x]$ و $P$ ایده آل اولی از $R$ باشد اگر قرار دهیم $Q =PS$ آنگاه $ht(Q)=ht(P)$

$(2$ فرض کنید $R$ حلقه نوتری ، $S=R[x]$ و $Q' \subset Q$ که در آن $Q$ و $Q'$ ایده آلهای اول در $S$ هستند که هر دو زیر ایده آل اول $P$ از $R$ باشند آنگاه $PS=Q$

فرض کنید$P_{0} ‎\subsetneqq‎ P_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n}$ زنجیر دلخواهی از ایده آل ها اول در $R$ باشد اگر قرار دهیم $Q_{n}=P_{n}S$ آنگاه طبق نکته $1$ داریم
$ht(Q_{n})=ht(P_{n})=n$پس یک زنجیر به طول $n$ از ایده آل های اول در $S$ مانند $Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n}$وجود دارد اما این زنجیر قابل افزایش است چون داریم $Q_{n} ‎\subsetneqq Q_{n+1}‎ =Q_{n}+(x)$(دقت کنید $x \notin Q_{n}$ چون در غیر اینصورت باید $1 \in P_{n}$ باشد اما $P_{n} \neq R$ است چون ایده الی اول است لذا سره است)

پس به ازای هر زنجیر به طول $n$ در $R$ حداقل یک زنجیر به طول $n+1$ در $S=R[x]$ موجود است یعنی $dim R +1 \leq dim S$

حال نشان میدهیم $dim R+1 \geq dim S$ یا $dim R \geq dim S -1$

فرض کنید $Q_{0} ‎\subsetneqq‎ Q_{1} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ Q_{n}$ زنجیری دلخواه از ایده آلهای اول در $S$ باشد قرار می دهیم $P_{i} =Q_{i} \cap R$ در اینصورت زنجیری از ایده آلهای اول در $R$ را خواهیم داشت اما در این زنجیر تمام عناصر متمایز نیستند چون اگر متمایز باشند آنگاه $dimR \geq dimS > dimS-1$ که با رابطه ی بدست آمده در بالا در تناقض است. پس فرض کنید که $j$ بزرگترین اندیسی باشد که برای آن $P_{i}=P_{i+1}$ باشد (یعنی اگر $i > j$ آنگاه $P_{i} ‎\subsetneqq‎ P_{i+1}$)

از نکته $2$ داریم $Q_{j}=P_{j}S$ و $ht(Q_{j})=ht(P_{j}) \geq j$ اما با توجه به انتخاب $j$ داریم:

$$P_{j}=P_{j+1} ‎\subsetneqq‎ P_{j+2} ‎\subsetneqq‎ ... ‎\subsetneqq‎ P_{n}$$ پس $ht(P_{j})+(n-j-1) \leq dimR$ اما از آنجایی که $ht(P_{j}) \geq j$ پس $n-1 \leq dimR$

یعنی به ازای هر زنجیر به طول $n$ در $S$ داریم $n-1 \leq dimR$ پس $dim R \geq dim S -1$ وحکم ثابت شد.