به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
120 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

با مثالی نشان دهید نگاشت اندازه پذیر بورلی وجود دارد که نگاشت پیوسته نیست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

تابع دیریکله $\chi_\mathbb Q$ اندازه پذیر بورل است اما در هیچ جا پیوسته نیست.


بورل اندازه پذیری یعنی $\chi_{\mathbb Q}:(\mathbb R,\mathcal B_{\mathbb R})\to (\mathbb R,\mathcal B_{\mathbb R})$ که به صورت $\chi_{\mathbb Q}(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\notin \mathbb Q\end{cases}$ تعریف می شود اندازه پذیر باشد. فرض کنید $A\in\mathcal B_{\mathbb R}$ بورل اندازه پذیر باشد باید نشان دهیم $\chi_{\mathbb Q}^{-1}(A)$ نیز بورل اندازه پذیر است. حال کافی است مشاهده کنید که $ \chi_{\mathbb Q}^{-1}(A) $ می تواند فقط یکی از چهار مجموعه $\emptyset,\mathbb Q,\mathbb Q^c,\mathbb R$ باشد که در هر حالت مجموعه ای بورل اندازه پذیر است.

دارای دیدگاه توسط
+1
با سلام
لطفاً اگر امکانش هست  نشان دهید که این تابع دیریکله اندازه پذیر بورل است.
با تشکر
دارای دیدگاه توسط
@shabnam
اضافه کردم لطفا ببینید.
دارای دیدگاه توسط
+1
خیلی ممنون از لطفتون. تشکر.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...