Question

با مثالی نشان دهید نگاشت اندازه پذیر بورلی وجود دارد که نگاشت پیوسته نیست.

Answer 1

تابع دیریکله $\chi_\mathbb Q$ اندازه پذیر بورل است اما در هیچ جا پیوسته نیست.

---

بورل اندازه پذیری یعنی $\chi_{\mathbb Q}:(\mathbb R,\mathcal B_{\mathbb R})\to (\mathbb R,\mathcal B_{\mathbb R})$ که به صورت $\chi_{\mathbb Q}(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\notin \mathbb Q\end{cases}$ تعریف می شود اندازه پذیر باشد. فرض کنید $A\in\mathcal B_{\mathbb R}$ بورل اندازه پذیر باشد باید نشان دهیم $\chi_{\mathbb Q}^{-1}(A)$ نیز بورل اندازه پذیر است. حال کافی است مشاهده کنید که $\chi_{\mathbb Q}^{-1}(A)$ می تواند فقط یکی از چهار مجموعه $\emptyset,\mathbb Q,\mathbb Q^c,\mathbb R$ باشد که در هر حالت مجموعه ای بورل اندازه پذیر است.

Comments

با سلام
لطفاً اگر امکانش هست  نشان دهید که این تابع دیریکله اندازه پذیر بورل است.
با تشکر

---

@shabnam
اضافه کردم لطفا ببینید.

---

خیلی ممنون از لطفتون. تشکر.