اگر $n$ زوج باشد ثابت کنید $ 1-{n\choose{2}}+ {n\choose{4}}-...-{n\choose{n}} =( \sqrt[]{2})^ncos( \frac{n \pi }{4}) $

Question

$ 1-{n\choose{2}}+ {n\choose{4}}-...-{n\choose{n}} =( \sqrt[]{2})^ncos( \frac{n \pi }{4}) $

Comments

منظورتون از علامت بالا همون جز صحیح است؟

---

خیر منظورم علامت ترکیب هست
عذر میخوام که اشتباه تایپ کردم

---

علامته ترکیبه.

---

میتونید از دستور n \choose m
در داخل دو دلار استفاده کنید

Answer 1

از بسط زیر استفاده میکنیم:

$(1+i)^n= \sum_{j=0}^n {n\choose{j}}(i)^j.(1)^{n-J}={n\choose{0}}i^0+...+ {n\choose{n}} i^{n=2k}= $ $( \sqrt{2}.cis \frac{ \pi }{4})^n=( \sqrt{2} )^n(cos \frac{n \pi }{4}+isin \frac{n \pi}{4} ) $

که با فاکتور گیری از $i$ در جملاتی که موجود است ومساوی قرار دادن ضرایب متناسب,به جواب میرسیم. البته در اینجا باید فرض کرد که $k$ فرد است