یعنی می خواید بدونید که نامساوی به صورت
$$\big(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_i+b_j|^p\big)^\frac 1p\leq \big(\sum_1^m|a_i|^p\big)^\frac 1p+ \big(\sum_1^n|b_j|^p\big)^\frac 1p $$
درسته یا نه.
یک مثال نقض:
$p=2$ و $a_1=1, a_2=2$ و $b_1=1, b_2=2$ داریم
$$ \big(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_i+b_j|^2\big)^\frac 12=\sqrt{34}=5.8... $$
و
$$\sum_1^2 |a_i|^2=\sum_1^2|b_i|^2=2\sqrt 5=4.4... $$
ویرایش:
فکر کنتم منظور شما ینطوره:
$$\big(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}+b_{ij}|^p\big)^\frac 1p
\leq \big(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^p\big)^\frac 1p+ \big(\sum_{i=1}^m\sum_1^n|b_{ij}|^p\big)^\frac 1p $$
که به نظرم درسته. چون نامساوی مینکوفسکی از نامساوی هولدر
$$\sum_1^n|a_ib_j|\leq \big(\sum_1^n|a_i|^p\big)^{\frac 1p}\big(\sum_1^n|b_i|^q\big)^{\frac 1q}$$
نتیجه می شود.
و میتوان نامساوی هولدر را به صورت زیر تعمیم دهیم:
$$\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}b_{ij}|\leq \big(\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}|^p\big)^{\frac 1p}\big(\sum_1^m\sum_1^n|b_{ij}|^q\big)^{\frac 1q}$$
برای اثبات این مطلب هم از نامساوی $$uv\leq \frac{u^p}p+\frac{v^q}q$$ استفاده میکنیم که در آن $\frac 1p+\frac 1q=1$ و $p, q, u, v> 0$ .
فرض کنید $a=\big(\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}|^p\big)^{\frac 1p}$ و $ b=\big(\sum_1^m\sum_1^n|b_{ij}|^q\big)^{\frac 1q} $ در اینصورت داریم:
$$\begin{align}\sum_1^m\sum_1^n|\frac{a_{ij}}a\frac{b_{ij}}b|&\leq \sum_1^m\sum_1^n (\frac{|a_{ij}|^p}{pa^p}+\frac {|b_{ij}|^q}{qb^q})\\
&=\frac{1}{pa^p}\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}|^p+\frac{1}{qb^q}\sum_1^m\sum_1^n|b_{ij}|^q\\
&=\frac 1p+\frac 1q=1
\end{align}$$
بنابراین $\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}b_{ij}|\leq ab$ و نامساوی هولدر بالا را ثابت کردیم.
با استفاده از نامساوی هولدر بالا حالا می توانیم نامساوی که شما گفتید اثبات کنیم:
$$\begin{align}\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}+b_{ij}|^p&=\sum_1^m\sum_1^n|a_{ij}+b_{ij}||a_{ij}+b_{ij}|^{p-1}\\
&\leq \sum_1^m\sum_1^n(|a_{ij}|+|b_{ij}|)|a_{ij}+b_{ij}|^{p-1}\\
&=\sum_1^m\sum_1^n |a_{ij}||a_{ij}+b_{ij}|^{p-1}+\sum_1^m\sum_1^n|b_{ij}||a_{ij}+b_{ij}|^{p-1}\\
&\leq \big(\sum\sum|a_{ij}|^p\big)^\frac 1p\big(\sum\sum|a_{ij}+b_{ij}|^{(p-1)q}\big)^\frac 1q\\
&+\big(\sum\sum|b_{ij}|^p\big)^\frac 1p\big(\sum\sum|a_{ij}+b_{ij}|^{(p-1)q}\big)^\frac 1q\\
&=\big(\big(\sum\sum|a_{ij}|^p\big)^\frac 1p+\big(\sum\sum|a_{ij}|^p\big)^\frac 1p\big)\big(\sum\sum|a_{ij}+b_{ij}|^{p}\big)^\frac 1q
\end{align}$$
حال با تقسیم طرفین بر $\sum\sum|a_{ij}+b_{ij}|^{p}\big)^\frac 1q$ (با فرض اینکه صفر نیست. چون اگر صفر باشد نامساوی ما به وضوح برقرار است) نامساوی نهایی به دست می آید.
