خاصیت فضای اندازه متناهی

Question

یک فضای اندازه نامتناهی ($ \mu ^{ \star }$,X,S) مثال بزنید که رابطه زیر در آن برقرار نباشد:

$E \subseteq X$اندازه پذیر است $ \Longleftrightarrow $ $ \mu ^{ \star }(E)$ + $\mu ^{ \star }( E^{c} )$= $ \mu ^{ \star } (X)$

Comments

فکر کنم سوال رو اشتباه نوشتید! باید $\mu$ را اندازه خارجی بگیریم. درسته؟

---

بله باید اندازه خارجی باشد.

---

ممنون از جوابتون

---

نباید به جای اندازه دلخواه ، اندازه لبگ را در نظر بگیریم؟؟؟

Answer 1

همچین تمرینی در کتاب فولند وجود دارد:

اگر $\mu^*$ اندازه خارجی القا شده از پیش اندازه متناهی $\mu_0$ روی $X$ باشد در اینصورت $E\subset X$ یک مجموعه $\mu^*$اندازه پذیر است اگر و تنها اگر $\mu^*(E)=\mu_0(X)-\mu^*(E^c)$ .

برای مثال نقض در حالتی که پیش اندازه متناهی نباشد می توانیم یک مجموعه اندازه ناپذیر $N$با اندازه خارجی دلخواه $L\in\mathbb R$ بسازیم که در اینصورت $\infty=\mu^*(\mathbb R)=\mu^*(N)+\mu^*(N^c)=L+\infty=\infty$ در حالیکه $N$ اندازه پذیر نیست.

Comments

@mk90
لطفا در زیر پاسخ دیدگاه بذارید و از @username استفاده کنید تا من متوجه دیدگاهتون بشم.
تمرینی که گفتم در حالت کلی بود.  و مثالی که گفتم مطمئنا منظورم اندازه خارجی است که تحدیدش به سیگماجبر مجموعه های $\mu^*$ اندازه پذیر برابر اندازه لبگ می شود.

---

fardina@
ممنون

---

@MK90
خواهش میکنم.