خاصیت پیوستگی از بالای اندازه ها

Question

اگر برای $k$ ، داشته باشیم $\mu( A_{k}) < \infty$ و $A_{k}$ دنباله ی نزولی باشند و
$A= \bigcap_{k=1}^ \infty A_{k}$ باشد، ثابت کنید ${ \mu ( A_{k})}$ به $\mu (A)$ همگرا است.

. تذکر : برای $\mu ( A_{1}) < \infty$ قبلا قضیه اثبات شده است .

Answer 1

دقیقا مثل حالتی که $\mu(A_1)< \infty$ ثابت می شود. با این تفاوت که قرار می دهیم: $B_n=A_k\setminus A_n$ برای $n> k$ . در اینصورت $B_{n+1}\subset B_{n+2}\subset ...$ و $\cup_{k+1}^\infty B_n=A_k\setminus (\cap_{k+1}^\infty A_n)$ . برای $n>k$ داریم $\mu(A_k)=\mu(B_n)+\mu(A_n)$ و

$$A_k=\big( A_k\setminus \cap_{k+1}^\infty A_n\big)\cup\big(\cap_{k+1}^\infty A_n\big)=(\cup_{k+1}^\infty B_n)\cup (\cap_1^\infty A_n)$$ در اینصورت $$\begin{align} \mu(A_k)&=\mu(\cup_{k+1}B_n)+\mu(\cap_1^\infty A_n)\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\lim_{n\to\infty}(\mu(A_k)-\mu(B_n))\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\mu(A_k)-\lim_{n\to\infty}\mu(B_n) \end{align}$$

و از $\mu(B_n)< \infty$ نتیجه حاصل می شود.

Comments

برای اندازه علامتدار بگید لطفا