خاصیت پیوستگی از بالای اندازه ها

Question

اگر برای $k$ ، داشته باشیم $ \mu( A_{k}) < \infty $ و $ A_{k} $ دنباله ی نزولی باشند و
$ A= \bigcap_{k=1}^ \infty A_{k} $ باشد، ثابت کنید $ { \mu ( A_{k})}$ به $ \mu (A) $ همگرا است.

. تذکر : برای $ \mu ( A_{1}) < \infty $ قبلا قضیه اثبات شده است .

Answer 1

دقیقا مثل حالتی که $ \mu(A_1)< \infty $ ثابت می شود. با این تفاوت که قرار می دهیم: $ B_n=A_k\setminus A_n$ برای $n> k $ . در اینصورت $B_{n+1}\subset B_{n+2}\subset ... $ و $ \cup_{k+1}^\infty B_n=A_k\setminus (\cap_{k+1}^\infty A_n)$ . برای $ n>k $ داریم $\mu(A_k)=\mu(B_n)+\mu(A_n) $ و $$A_k=\big( A_k\setminus \cap_{k+1}^\infty A_n\big)\cup\big(\cap_{k+1}^\infty A_n\big)=(\cup_{k+1}^\infty B_n)\cup (\cap_1^\infty A_n) $$ در اینصورت $$\begin{align} \mu(A_k)&=\mu(\cup_{k+1}B_n)+\mu(\cap_1^\infty A_n)\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\lim_{n\to\infty}(\mu(A_k)-\mu(B_n))\\ &=\mu(\cap_1^\infty A_n)+\mu(A_k)-\lim_{n\to\infty}\mu(B_n) \end{align}$$

و از $\mu(B_n)< \infty $ نتیجه حاصل می شود.

Comments

برای اندازه علامتدار بگید لطفا