در سه گوش $ABC$ روی یال $BC$ نقطه ای به نام $D$ می گذاریم. با فرض $AB=4$، $DC=8$، $DAC=90$ و $BAD=30$ اندازهٔ زاویهٔ $C$ را بیابید.

Question

سه‌گوش $ABC$ای را برداشته‌ایم که اندازهٔ یال $AB$ برابر ۴ واحد است. نقطهٔ $D$ را روی یال $BC$ به گونه‌ای انتخاب کردیم که درازای $DC$ برابر با ۸ واحد باشد و اندازهٔ زاویه‌های $DAC$ و $BAD$ به ترتیب برابر با ۹۰ و ۳۰ درجه شود. اندازهٔ زاویهٔ $C$ چقدر بوده‌است؟

Answer 1

ابتدا توجه کنید که با توجه به مجموع زاویه ی مثلث $ ADC $ داریم که $x+ \widehat{D_{1} } =90$

حال از زاویه ی $ \widehat{A} $ به اندازه ی $ x $ جدا کنیم یعنی $ \widehat{CAE} =x $ آنگاه با توجه به رابطه ی $x+ \widehat{D_{1} } =90$ داریم که $\widehat{D_{1} }=\widehat{A_{1} } $

حال با توجه به دو مثلث متساوی الساقین ایجاد شده داریم $AE=ED , AE=EC $ یعنی $ED=EC=4 $ (چون طول $ DC$ برابر $8$ است.)

پس $AE=ED =4 $ یعنی مثلث $ABE $ متساوی الساقین است لذا $ \widehat{B} = \widehat{E} =2x $ (چون زاویه ی $ \widehat{E}$زاویه خارجی برای مثلث $ AEC $ است.) حال از مجموع زوایا برای مثلث $ ABC $ داریم: $$120+\widehat{B} +x=180 \Rightarrow 120+2x+x=180 \Rightarrow 3x=180-120 \Rightarrow x=20 $$

Comments

خیلی جالب بود. ممنون.

---

قربانت .یک لحظه ای به ذهنم رسید.

---

خیلی عالی بود داش عرفان.
دمت گرم.

Answer 2

من از روش زیر استفاده کردم ولی به پاسخ ۶۰ درجه رسیدم.

قرار می‌دهیم $BD=y$. آنگاه داریم:

$$\frac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin(A)=\frac{1}{2}\times AC\times BC\times \sin(x)$$

چون $\hat{A}=30+90=120$ و $BC=BD+DC=y+8$؛

$$(8+y)\times\sin(x)=4\times\sin(120)\longrightarrow 8+y=\frac{2\sqrt{3}}{\sin(x)}\qquad:(\star)$$

بعلاوه با ترکیب اینکه $AC=8\cos(x)$ و قانون کسینوس‌ها (تصحیح‌شده بر اساس دیدگاه @fardina) در مثلث $ABC$ داریم:

$$(8+y)^{2}=16+64\cos^{2}(x)-64\cos(x)\times\cos(120)\qquad:(\star\star)$$

رابطه‌های $(\star)$ و $(\star\star)$ به ما یک دستگاه دو معادله دو مجهولی مثلثاتی-چندجمله‌ای می‌دهند که باید حل کینم.

Comments

قانون سینوس ها رو اشتباه به کار بردید. قانون سینوس ها میگه:
$$BC\sin A=AB\sin x$$

---

نه درست بکار بردم.

---

درست میگید. ببخشید. پس من تصحیح میکنم که قانون سینوس ها: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin x}$

---

میشه توضیح بدید چرا $8+y= \frac{2 \sqrt{3} }{sinx}$?

---

توضیحشو رو ادامه مسئله بیان کردم.

---

بنابر قانون کسینوس ها:
$BC^2=AB^2+AC^2-2(AB)(AC)\cos(120)\Rightarrow (8+y)^{2} = 16+64cos^{2}x-64cosx $
فکر کنم قانون کسینوس ها رو اشتباه به کار بردین!

---

بله حق با شماست. الان درسته.

---

@zh هیچ کدام Maple و Mathematica نه به ۲۰ درجه نه ۶۰ درجه می‌رسند با این دو معادله دو مجهول.