قضیه زیر را داریم :
قضیه : اگر $ \mathbb{Z} $ گروه اعداد صحیح تحت عمل جمع و $m,n$ دو عدد صحیح باشند آنگاه :
$$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=(m,n)\mathbb{Z}$$
( منظور از $(m,n)$ ب,م,م دو عدد $m,n$ است ) .
اثبات : فرض کنید $d=(m,n)$ . ابتدا نشان می دهیم $m\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ و $n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . فرض کنیم $x\in m\mathbb{Z}$ پس $r\in \mathbb{Z}$ وجود دارد که $x=mr$ . اما $d|m$ پس $ k\in \mathbb{Z} $ وجود دارد که $m=dk$ پس $m=d(kr)$ بنابراین $x\in d\mathbb{Z}$ . در نتیجه $ m\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . به طور مشابه ثابت می شود $n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . حال چون $d\mathbb{Z}$ زیر گروه $\mathbb{Z}$ است پس :
$$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$$
حال نشان می دهیم $ d\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} $ . فرض کنید $x\in \mathbb{Z}d$ پس $s\in \mathbb{Z}$ وجود دارد که $x=ds$ . طبق قضیه بزو اعداد صحیح $p,q$ وجود دارند که :
$$d=mp+nq$$
پس :
$$x=ds=(mp+nq)s=m(ps)+n(qs)$$
بنابراین $x\in m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}$ . در نتیجه $ d\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} $ .
