مجموعهٔ $3\mathbb{Z}+4\mathbb{Z}$ را بیابید.

Question

اعضای مجموعهٔ $3\mathbb{Z}+4\mathbb{Z}$ را بیابید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

ادعا میکنیم حاصل برابر است با: $Z$

اولا واضح است که $3Z+4Z \subseteq Z$ کافی است نشان دهیم $Z \subseteq 3Z+4Z$

$ (3,4)=1 $ پس وجود دارد $ \alpha و \beta \epsilon Z$ به طوریکه $3 \alpha +4 \beta =1$

، $( \alpha =3 و \beta =-2)$ یعنی $1 \epsilon (3Z+4Z)$

پس $Z \subseteq 3Z+4Z$

Comments

این رابطه رو می تونید برای هر دو عدد صحیح که نسبت به هم اول هستند هم بیان کنید.

Answer 2

قضیه زیر را داریم :

قضیه : اگر $ \mathbb{Z} $ گروه اعداد صحیح تحت عمل جمع و $m,n$ دو عدد صحیح باشند آنگاه : $$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=(m,n)\mathbb{Z}$$ ( منظور از $(m,n)$ ب,م,م دو عدد $m,n$ است ) .

اثبات : فرض کنید $d=(m,n)$ . ابتدا نشان می دهیم $m\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ و $n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . فرض کنیم $x\in m\mathbb{Z}$ پس $r\in \mathbb{Z}$ وجود دارد که $x=mr$ . اما $d|m$ پس $ k\in \mathbb{Z} $ وجود دارد که $m=dk$ پس $m=d(kr)$ بنابراین $x\in d\mathbb{Z}$ . در نتیجه $ m\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . به طور مشابه ثابت می شود $n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$ . حال چون $d\mathbb{Z}$ زیر گروه $\mathbb{Z}$ است پس : $$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} \subseteq d\mathbb{Z}$$ حال نشان می دهیم $ d\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} $ . فرض کنید $x\in \mathbb{Z}d$ پس $s\in \mathbb{Z}$ وجود دارد که $x=ds$ . طبق قضیه بزو اعداد صحیح $p,q$ وجود دارند که : $$d=mp+nq$$ پس : $$x=ds=(mp+nq)s=m(ps)+n(qs)$$ بنابراین $x\in m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}$ . در نتیجه $ d\mathbb{Z} \subseteq m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z} $ .