گروه های دوری

Question

یکی از قضیه های جالب درباره گروه های دوری این قضیه است :

فرض کنید G یک گروه آبلی و متناهی باشد به طوری که برای هر عدد صحیح و مثبت n ، تعداد جواب های معادله $x^n=e$ در G حداکثر n باشد. در این صورت G دوری است.

ممنون میشم اگر کسی اثباتی براش ارائه بده.

Answer 1

باتوجه به اینکه گروه متناهی است پس مجموعه $\{ n \mid \exists g \in G s.t \mid g \mid =n \}$ دارای عنصر ماکسیمالی مانند $m$ است. فرض کنید $a \in G$ باشد که $\mid a \mid =m$. حال زیر گروه دوری $(a)$ را در نظر میگیریم. هر یک از اعضا به صورت $a^{i}$ یک جواب معادله $x^{m}=e$هستند پس $m$ جواب داریم و طبق فرض اینها تنها جوابها هستند.

نشان می دهیم $G=(a)$ فرض کنید که $b \in G$ عنصر دلخواهی باشد طبق نکته ای میدانیم که $G$ دارای عنصری از مرتبه ی ک.م.م $\mid b \mid$ و $m$ یعنی $[m, \mid b \mid]$ است. اما طبق نحوه انتخاب $m$ باید $[m, \mid b \mid] \leq m$ و لذا $\mid b \mid \mid m$ فرض کنید که $m=t\mid b \mid$ پس داریم:

$$b^{m}= {b^{\mid b \mid} }^{t} =e$$ یعنی $b$ هم در معادله $x^{m}=e$ صدق می کند اما تنها جوابها عناصری به صورت $a^{i}$ بودند لذا $b \in (a)$