رده‌بندی گروه‌های از مرتبهٔ $p^2$

Question

با فرض عدد اول بودن p نشان دهید گروه از مرتبه $ p^{2} $ با $ Z_{ p^{2} } $ یا $ Z_{p} \bigoplus Z_{p} $ یکریخت است.

Comments

@AmirHosein
جوابی که برای سوال ضمیمه کردم را دارم ولی جواب را متوجه نمیشوم. لطفا برای فهم آن راهنمایی ام کنید.    با تشکر

Answer 1

من نوشته‌ای که پیوست کردید را نمی‌توانم دنبال کنم، یا بد و با گپ یا اشتباه نوشته‌شده‌است یا نوشته‌اش به شیوه‌ای است که در حوصلهٔ من نمی‌گنجد.

من یادم می‌آید از گروه با مرتبهٔ $pq$ پرسشی در امتحان میان‌ترم جبر یک کارشناسی داشتیم.

دو مطلب را به یاد آورید:

• گروه $G$ جمع مستقیم دو زیرگروه $H_1$ , $H_2$ اش است هرگاه این دو زیرگروه نرمال باشند، اشتراک بدیهی داشته‌باشند و زیرگروه تولیدشده بوسیلهٔ اجتماع این دو برابر با کل گروه شود.
• اگر اندیس یک زیرگروه (تقسیم مرتبهٔ گروه به مرتبهٔ زیرگروه) برابر کوچکترین عدد اولی باشد که مرتبهٔ گروه را می‌شمارد آنگاه این زیرگروه نرمال است.

هر عنصر از این گروه $p^2$ عضوی دارای مرتبهٔ ۱ یا $p$ یا $p^2$ است. اگر عنصری با مرتبهٔ $p^2$ یافت شود که در آن صورت کل گروه را تولید می‌کند و گروهمان دوری می‌شود پس $G$ یکریخت می‌شود با $\overline{\mathbb{Z}}_{p^2}$. در غیر اینصورت هر عنصر مرتبه‌اش یا یک است یا $p$. چون تنها یک عنصر در گروه از مرتبهٔ یک وجود دارد و آن، عنصر همانی است پس هر عنصر ناهمانی $G$ دارای مرتبهٔ $p$ است. چون $p$ اول و در نتیجه از ۲ بزرگتر یا مساوی است پس $p^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ و به ویژه بزرگتر اکید از یک است. پس بنا به اصل انتخاب عنصر ناهمانی‌ای در $G$ وجود دارد. یکی را به دلخواه بردارید مانند $a$. زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $a$ را $H$ بنامید. داریم: $$\dfrac{|G|}{|H|}=\dfrac{p^2}{p}=p$$ پس $H$ در $G$ نرمال است. البته برای هر زیرگروه دوری دلخواه از $G$، نرمال بودن اثبات شد. اکنون که $H$ در $G$ نرمال است پس گروه خارج‌قسمتی $\frac{G}{H}$ را داریم و مرتبه‌اش یک عدد اول است پس دوری است. فرض کنید با $bH$ تولید بشود. آشکار است که $b$ نمی‌تواند همانی باشد و گرنه مرتبهٔ این گروه خار‌قسمتی یک می‌شود و تناقض. برای هر عنصر دلخواه از $G$ مانند $g$ داریم: $$\exists 0\leq i\leq p-1\;s.t.\;gH=a^iH$$ اما $gH=a^iH$ یعنی $a^{-i}g\in H$ پس عنصر $h$ای از $H$ وجود دارد که $a^{-i}g=h$. ولی به یاد آوردی که $H=\langle a\rangle$ پس $j$ای بین صفر و $p-1$ وجود دارد که $h=b^j$. در نهایت $g=b^ja^i$ پس $g$ داخل $\langle a,b\rangle=\langle \langle a\rangle\cup\langle b\rangle\rangle$ قرار گرفت و چون $g$ عنصر دلخواهی از $G$ بود پس کل گروه داخل زیرگروه تولیدشده توسط دو زیرگروه دوری یادشده قرار می‌گیرد و از طرفی آن زیرگروه نیز داخل $g$ است. پس اگر قرار دهیم $H'=\langle b\rangle$، نشان دادیم که $G=H'H$. اگر نشان دهیم که $H\cap H'={e}$ کار تمام است.

توجه کنید که اشتراک دو زیرگروه، زیرگروه می‌شود پس مرتبهٔ $H\cap H'$ نیز باید $p^2$ را بشمارد. چون این اشتراک زیرمجموعه تک تک آنها است پس تعداد عناصرش کمتر یا مساوی تعداد عناصر تک تک آنها می‌شود پس $p^2$ رد می‌شود. اگر برابر $p$ باشد در انصورت یعنی $H\cap H'=H=H'$ و این باعث می‌شود که $b$ که در $H'$ است نیز در $H$ قرار بگیرد و در نتیجه $bH=H$ شود که همانی گروه خارج‌قسمتی $\frac{G}{H}$ است و این باعث می‌شود که گروه دوری تولید شده بوسیلهٔ $bH$ تک‌عضوی شود در حالیکه گفتیم این مولدی برای $\frac{G}{H}$ است که $p$ عضو دارد! پس تنها حالت ممکن این است که $|H\cap H'|=1$.

در نتیجه ثابت کردیم که $G=H\oplus H'$. چون $H\cong H'\cong\overline{\mathbb{Z}}_p$ پس داریم $G\cong\overline{\mathbb{Z}}_p\oplus\overline{\mathbb{Z}}_p$.

Comments

@AmirHosein
پاسخ عالی بود. به نظر من هم در پاسخی که یافتم گپ زیادی وجود داشت.

---

گپ دیگه چیه؟
منظورتون شکافه؟

---

@kazomano بلی ممکن است همان شکاف باشد چون از واژهٔ فارسی جاافتاده و هم‌ارزش آگاهی نداشتم از گپ gap استفاده کردم. به هر حال گپ بین ریاضیدانان ایران نیز جا افتاده‌است هر چند که به‌کارگیری واژگان فارسی‌تر شایسته‌تر است ولی معنای گپ را فعلا همه می‌فهمند. واژهٔ «شکاف» نیز گزینشی بجاست ولی باید بیشتر پرس‌و‌جو کرد. مطمئن که شدم، «گپ» را با «شکاف» در پاسخم جایگزین خواهم کرد. سپاس از دقتتان.

---

@AmirHosein
در بهینه سازی محدب دوآلیتی گپ وجود داره و در اونجا باتوجه به اینکه درباره مقدار بهینه مسئله اولیه و بهترین کران پایین تابع دوگان لاگرانژ بحث میکنه تنفاضل این دو مقدار رو دوآلیتی گپ نامگذاری می کنن که درواقع به نوعی به شکافی که بین این دوتا وجود داره اشاره داره.در بهینه سازی به نظرم شکاف خیلی مناسبه.

Answer 2

هر گروه از مرتبه $p^2$ آبلی است. بنابراین با توجه به قضیه رده بندی گروه های آبلی، که در آن هر گروه آبلی را می توان به صورت حاصلضرب مستقیم گروه های دوری نوشت، حکم واضح است.