من نوشتهای که پیوست کردید را نمیتوانم دنبال کنم، یا بد و با گپ یا اشتباه نوشتهشدهاست یا نوشتهاش به شیوهای است که در حوصلهٔ من نمیگنجد.
من یادم میآید از گروه با مرتبهٔ $pq$ پرسشی در امتحان میانترم جبر یک کارشناسی داشتیم.
دو مطلب را به یاد آورید:
- گروه $G$ جمع مستقیم دو زیرگروه $H_1$ , $H_2$ اش است هرگاه این دو زیرگروه نرمال باشند، اشتراک بدیهی داشتهباشند و زیرگروه تولیدشده بوسیلهٔ اجتماع این دو برابر با کل گروه شود.
- اگر اندیس یک زیرگروه (تقسیم مرتبهٔ گروه به مرتبهٔ زیرگروه) برابر کوچکترین عدد اولی باشد که مرتبهٔ گروه را میشمارد آنگاه این زیرگروه نرمال است.
هر عنصر از این گروه $p^2$ عضوی دارای مرتبهٔ ۱ یا $p$ یا $p^2$ است. اگر عنصری با مرتبهٔ $p^2$ یافت شود که در آن صورت کل گروه را تولید میکند و گروهمان دوری میشود پس $G$ یکریخت میشود با $\overline{\mathbb{Z}}_{p^2}$. در غیر اینصورت هر عنصر مرتبهاش یا یک است یا $p$. چون تنها یک عنصر در گروه از مرتبهٔ یک وجود دارد و آن، عنصر همانی است پس هر عنصر ناهمانی $G$ دارای مرتبهٔ $p$ است. چون $p$ اول و در نتیجه از ۲ بزرگتر یا مساوی است پس $p^2$ بزرگتر یا مساوی ۴ و به ویژه بزرگتر اکید از یک است. پس بنا به اصل انتخاب عنصر ناهمانیای در $G$ وجود دارد. یکی را به دلخواه بردارید مانند $a$. زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $a$ را $H$ بنامید. داریم:
$$\dfrac{|G|}{|H|}=\dfrac{p^2}{p}=p$$
پس $H$ در $G$ نرمال است. البته برای هر زیرگروه دوری دلخواه از $G$، نرمال بودن اثبات شد. اکنون که $H$ در $G$ نرمال است پس گروه خارجقسمتی $\frac{G}{H}$ را داریم و مرتبهاش یک عدد اول است پس دوری است. فرض کنید با $bH$ تولید بشود. آشکار است که $b$ نمیتواند همانی باشد و گرنه مرتبهٔ این گروه خارقسمتی یک میشود و تناقض. برای هر عنصر دلخواه از $G$ مانند $g$ داریم:
$$\exists 0\leq i\leq p-1\;s.t.\;gH=a^iH$$
اما $gH=a^iH$ یعنی $a^{-i}g\in H$ پس عنصر $h$ای از $H$ وجود دارد که $a^{-i}g=h$. ولی به یاد آوردی که $H=\langle a\rangle$ پس $j$ای بین صفر و $p-1$ وجود دارد که $h=b^j$. در نهایت $g=b^ja^i$ پس $g$ داخل $\langle a,b\rangle=\langle \langle a\rangle\cup\langle b\rangle\rangle$ قرار گرفت و چون $g$ عنصر دلخواهی از $G$ بود پس کل گروه داخل زیرگروه تولیدشده توسط دو زیرگروه دوری یادشده قرار میگیرد و از طرفی آن زیرگروه نیز داخل $g$ است. پس اگر قرار دهیم $H'=\langle b\rangle$، نشان دادیم که $G=H'H$. اگر نشان دهیم که $H\cap H'=\{e\}$ کار تمام است.
توجه کنید که اشتراک دو زیرگروه، زیرگروه میشود پس مرتبهٔ $H\cap H'$ نیز باید $p^2$ را بشمارد. چون این اشتراک زیرمجموعه تک تک آنها است پس تعداد عناصرش کمتر یا مساوی تعداد عناصر تک تک آنها میشود پس $p^2$ رد میشود. اگر برابر $p$ باشد در انصورت یعنی $H\cap H'=H=H'$ و این باعث میشود که $b$ که در $H'$ است نیز در $H$ قرار بگیرد و در نتیجه $bH=H$ شود که همانی گروه خارجقسمتی $\frac{G}{H}$ است و این باعث میشود که گروه دوری تولید شده بوسیلهٔ $bH$ تکعضوی شود در حالیکه گفتیم این مولدی برای $\frac{G}{H}$ است که $p$ عضو دارد! پس تنها حالت ممکن این است که $|H\cap H'|=1$.
در نتیجه ثابت کردیم که $G=H\oplus H'$. چون $H\cong H'\cong\overline{\mathbb{Z}}_p$ پس داریم $G\cong\overline{\mathbb{Z}}_p\oplus\overline{\mathbb{Z}}_p$.
