در حالت $t=0$ یعنی $ l(H_{m}^{0} (M))=0 $ پس
$ H_{m}^{0} (M)=0 $ یعنی $ \frac{M}{ H_{m}^{0} (M)} \cong M $ و طبق فرض $ M $ نسبتا تمییز است پس حکم ثابت می شود.
برای قسمت بعد از آنجایی که $ m \in Supp(M) $ پس طبق تعریف $ Ann(M) \subseteq m $ همچنین می دانیم $ M_{1} \subseteq M $ پس $ Ann(M_{1}) \subseteq Ann(M) $ و حکم ثابت شد.
برای قسمت بعد وقتی ما فیلتر نسبتا تمییز $0 \subseteq M_{1} \subseteq M_{2} \subseteq ...\subseteq M_{r}=M $ را داریم لذا فیلتر $ 0 \subseteq {M_{2}}^{'} \subseteq {M_{3}}^{'} \subseteq ...\subseteq {M_{r}}^{'}= \frac{M}{M_{1}} $ برای
$ v $ داریم که در آن $ {M_{i}}^{'}=\frac{M_{i}}{M_{1}} $
از آنجایی که $$ \frac{ {M_{i}}^{'}}{ {M_{i-1}}^{'}} = \frac{\frac{M_{i}}{M_{1}}}{\frac{M_{i-1}}{M_{1}}} \cong \frac{M_{i}}{M_{i-1}} $$
نسبتا تمییز بودن این فیلتر نتیجه می شود.
طبق تعریف داریم:
$$ H_{m}^{0}=\{ x \in M : m^{n}x=0 \ for \ some \ n > 0 \}$$
لذا داریم $ H_{m}^{0} \leq M $
و همچنین $A \subseteq H_{m}^{0} \leq M$ و این حکم را ثابت می کند.
