برای ایده آل زیر وبرای $n=3$تجزیه اولیه استاندارد رابیابید وهمچنین عدد ساتوریشن رادر این سوال بیابید

Question

فرض کنید عدد صحیح $ d > 0 $ داده شده باشد. همچنین فرض کنید $I \subseteq S=K[ x_{1} ,..., x_{n} ] $ یک ایده آل تک جمله ای باشد که توسط تمام تک جمله ای های به صورت $ { x_{1} }^{a_{1}}...{ x_{n} }^{a_{n}} $ که $ \sum_{i=1}^n a_{i}=d $که برای هر $ i$ ،$a_{i} < d $ تولید شود.

برای $n=3$تجزیه اولیه استاندارد رابیابید وهمچنین عدد ساتوریشن را بیابید

Answer 1

برای عدد ساتوریشن نشان میدهیم این عدد برای $d-2$ است. پس باید نشان دهیم که $I:m^{d-2}= I:m^{d-1} $ و برای هر $k < d-2$ داریم: $ I:m^{k} \neq I:m^{k+1} $

اثبات $I:m^{d-2}= I:m^{d-1} $:

همواره داریم $I:m^{d-2} \subseteq I:m^{d-1} $ پس کافیه نشان دهیم که $ I:m^{d-1} \subseteq I:m^{d-2}$ اولا $ I:m^{d-1} $ تک جمله ای است لذا هر عضو مینیمال مولد را میتوانیم تک جمله ای درنظر بگیریم. فرض کنید $u \in G( I:m^{d-1})$

نشان میدهیم $u \in I:m^{d-2} $ فرض کنید $v = {x_{1}}^{ a_{1} }...{x_{n}}^{ a_{n} } \in m^{d-2}$(لذا $a_{1} +...+ a_{n}= d-2$) همانطور که در اثبات سوال satoration و رادیکال راپیداکنید. اشاره شد دو متغییر مختلف $ u$ را عاد میکنند. لذا درجه ی $uv$ حداقل $d$ است. و این نتیجه می دهد که $uv \in I $.

اثبات :برای هر $k < d-2$ داریم: $ I:m^{k} \neq I:m^{k+1} $

اگر قرار دهیم $u= x_{1} x_{2}^{d-k-2} $ آنگاه به ازای هر $v \in m^{k+1} $ داریم درجه $uv$ برابر $k+1+d-k-1=d$ است و دو متغییر متفاوت آن را عاد میکنند لذا توانهای متغییر ها کمتر از $d$ است لذا در $I$ قرار دارد اما این عضو در $ I:m^{k} $ قرار ندارد چون هر عضو مینیمال مولد $ m^{k}$ از درجه $ k $ و با ضرب در $ u $ درجه اش برابر $d-1$ خواهد نشد لذا نمیتواند عضو $I$ باشد.

Answer 2

وفتی $n=3 $ پس $ S=K[ x_{1} , x_{2} , x_{3} ] $ برای $ d=2 $ داریم $I=( x_{1} x_{2} , x_{1} x_{3} , x_{2} x_{3} ) $ پس $I=( x_{1} , x_{2} ) \bigcap ( x_{1} , x_{3} ) \bigcap ( x_{2} , x_{3} ) $

برای $d=3 $ داریم $I=( x_{1}^{2} x_{2} , x_{1}^{2} x_{3} , x_{1} x_{2}^{2}, x_{1} x_{3}^{2}, x_{1} x_{2} x_{3}, x_{2}^{2} x_{3},x_{2} x_{3}^{2} ) $ لذا $$I=( x_{1} , x_{2} ) \bigcap ( x_{1} , x_{3} ) \bigcap ( x_{2} , x_{3} )\bigcap( x_{1}^{2} , x_{2}^{2}, x_{3} )\bigcap ( x_{1}^{2}, x_{2} , x_{3}^{2} ) $$ $$ \bigcap ( x_{1} , x_{2}^{2} , x_{3}^{2} ) \bigcap( x_{1}^{3} , x_{2}, x_{3} ) \bigcap ( x_{1}, x_{2} , x_{3}^{3} ) \bigcap ( x_{1} , x_{2}^{3} , x_{3}) $$

از جواب بالا حدس میزنیم و در واقع نشان میدهیم که برای $ d \geq 3 $داریم $$ I=( x_{1} , x_{2} ) \bigcap ( x_{1} , x_{3} ) \bigcap ( x_{2} , x_{3} ) \bigcap_{(a,b,c)} Q _{(a,b,c)} $$ که در آن $ Q _{(a,b,c)}= ( x_{1}^{a} , x_{2}^{b} , x_{3}^{c} )$ و $a+b+c=d+2$

اثبات: فرض کنید $u=x_{1}^{n}x_{2}^{m}x_{3}^{q} \in G(I)$ لذا $n+m+q=d $( ممکن است یکی از توانها صفر باشد اما طبق تعریف $I$ دوتا با هم صفر نیستند.) باید نشان دهیم در طرف راست یا اشتراک ها است پس باید در تک تک آنها باشد. از آنجایی که حداقل دو متغیر آن را عاد می کند لذا به وضوح در $ ( x_{1} , x_{2} ) \bigcap ( x_{1} , x_{3} ) \bigcap ( x_{2} , x_{3} ) $ است نشان می دهیم برای هر $a+b+c=d+2$ در $ Q _{(a,b,c)}= ( x_{1}^{a} , x_{2}^{b} , x_{3}^{c} )$ است.

فرض کنیم نباشد لذا $x_{1}^{a} , x_{2}^{b} , x_{3}^{c}$ هیچکدامشان $ u $ را عاد نمیکنند لذا باید $ n < a $و$ m < b $و$ q < c $ پس $ n \leq a-1$ و $ m \leq b-1$و$ q \leq c-1$ لذا $ n+m+q \leq a+b+c-3=d+2 -3=d-1$ و این تناقض است.

حال فرض کنیم که عنصر دلخواه $u=x_{1}^{n}x_{2}^{m}x_{3}^{q} $ در طرف راست یعنی اشتراک ها باشد نشان می دهیم در $ I $ است. از اینکه در $( x_{1} , x_{2} ) \bigcap ( x_{1} , x_{3} ) \bigcap ( x_{2} , x_{3} )$ است پس حداقل دو متغییر آن را عاد می کنند.بدون کاستن از کلیت فرض $ x_{1} , x_{2} $ باشند لذا $m,n \geq 1$

فرض خلف: فرض کنید $u \notin I $ پس مجموع توانها باید از $ d $ کمتر باشد نشان میدهیم یک $Q _{(a,b,c)}$ وجود دارد که $ u $ در آن نیست و این تناقض خواهد بود.

قرار میدهیم $ a=n+1 $ و $b=m+1 $ و $ c=d-(n+m) $ لذا $ a+b+c=d+2 $ از آنجایی که $n+m+q < d $ نتیجه می شود که $q < c$

از اینکه $n< a $ و $m < b $ و $q < c$ نتیجه می شود که هیچ مولد $Q _{(a,b,c)}$ تک جمله ای $ u$ را عاد نمی کند لذا $u$ در $Q _{(a,b,c)}$ نیست.