من فرض میکنم که منظور شما نگاشت $f:(X,\tau_1)\to (Y,\tau_2 )$ است که $(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ فضاهای توپولوژیک هستند. توجه کنید که $(f^{-1})^{-1}=f$
فرض کنید $f$ یک نگاشت باز باشد. نشان می دهیم که $f^{-1}:(Y,\tau_2)\to (X,\tau_1)$ پیوسته است:
فرض کنید $G\in \tau_1$ (یعنی $G$ در $X$ باز باشد) در اینصورت از باز بودن $ f:(X,\tau_1)\to (Y,\tau_2 ) $ مجموعه $f(G)\subset Y$ باز است یعنی $f(G)\in\tau_2$ اما $f(G)=(f^{-1})^{-1}(G)$ یعنی $f^{-1}$ پیوسته است.(مجموعه های باز را به مجموعه های باز برگرداند)
برعکس: فرض کنیم $f^{-1}$ پیوسته باشد. نشان می دهیم $f$ باز است:
فرض $G\in \tau_1$ باز باشد در اینصورت از پیوستگی $f^{-1}$ مجموعه $(f^{-1})^{-1}(G)=f(G)\in\tau_2$ باز است. یعنی $f$ نگاشتی باز است.
